Question

已知函數(shù)f（x）=|x-1|+|x+1|（x∈R）
（Ⅰ） 證明：函數(shù)f（x）是偶函數(shù)；
（Ⅱ）利用絕對(duì)值及分段函數(shù)知識(shí)，將函數(shù)解析式寫(xiě)成分段函數(shù)，然后畫(huà)出函數(shù)圖象；
（Ⅲ） 寫(xiě)出函數(shù)的值域和單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義證明f（-x）=f（x），即可證明該函數(shù)為偶函數(shù)；
（2）分x≤-1，-1＜x＜1，x≥1三段寫(xiě)出函數(shù)f（x）的解析式，根據(jù)解析式作出函數(shù)圖象；
（3）由圖象得出函數(shù)的值域及單調(diào)區(qū)間．

解答：解：（1）∵函數(shù)的定義域?yàn)镽
∴定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)．
∵f（-x）=|-x-1|+|-x+1|=|x+1|+|x-1|=f（x）
∴函數(shù)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)．
（2）當(dāng) x≤-1時(shí)，f（x）=-（x-1）-（x+1）=-2x
當(dāng)-1＜x＜1時(shí)，f（x）=-（x-1）+（x+1）=2
當(dāng)x≥1時(shí)，f（x）=（x-1）+（x+1）=2x
綜上函數(shù)的解析式為f（x）=

-2x，     x≤-1 2，         -1＜x＜1 2x，       x≥1

函數(shù)的圖象為

（3）由函數(shù)f（x）的圖象可知函數(shù)的值域?yàn)閇2，+∞），函數(shù)的遞減區(qū)間為（-∞，-1]，函數(shù)的遞增區(qū)間為[1，+∞）．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了偶函數(shù)的概念及判斷、分段函數(shù)的解析式及圖象、函數(shù)的值域及單調(diào)區(qū)間．培養(yǎng)了學(xué)生分類(lèi)討論及數(shù)形結(jié)合的思想方法及解題能力．