Question

設函數f（x）=|x|（x-a）²（x∈R），其中a∈R．
（Ⅰ）當a=1時，求曲線y=f（x）在點（2，f（2））處的切線方程；
（Ⅱ）當|a|≥2，x∈（0，2]時，函數f（x）的最大值為8時，求a；
（Ⅲ）當a＞0，k＜0時，f（k-e^x）≤f（-k²-e^2x）對任意的x≥0恒成立，求k的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導數研究曲線上某點切線方程,利用導數研究函數的單調性,利用導數求閉區(qū)間上函數的最值

專題：導數的綜合應用

分析：（Ⅰ）求函數的導數，根據導數的幾何意義即可求在點（2，f（2））處的切線方程；
（Ⅱ）當|a|≥2，x∈（0，2]時，求函數的導數，根據函數f（x）的最大值為8時，建立條件關系即可求a；
（Ⅲ）將不等式恒成立進行轉化，結合函數的性質即可得到結論．

解答： 解：由題意得，f(x)=

x3-2ax2+a2x  (x≥0) -x3+2ax2-a2x  (x＜0)

，
∴f′(x)=

3x2-4ax+a2  (x≥0) -3x2+4ax-a2  (x＜0)

（I）當a=1，x=2時，f'（2）=5，f（2）=2，
∴曲線y=f（x）在點A（2，f（2））處的切線方程為5x-y-8=0，
（II）∵x∈（0，2]，
∴f'（x）=3x²-4ax+a²，
（i） 當a＜-2，x∈（0，2]，f'（x）＞0，
∴f（x）在（0，2]上單調遞增，
∴f（x）_max=f（2）=8，∴a=4或0（舍去）．
（ii） 當2≤a＜6，x∈(0，

a

3

]，f'（x）＞0；
x∈(

a

3

，2]，f'（x）＜0，
∴f(x)max=f(

a

3

)=8，∴a=3

3	2

，
（iii） 當a≥6，x∈（0，2]，f'（x）＞0，
∴f（x）在（0，2]上單調遞增，
∴f（x）_max=f（2）=8，
∴a=4或0（舍去），
∴由（i） （ii） （iii）可得 x∈[0，2]，a=3

3	2

，函數f（x）的最大值為8．
（III）由題意得，k-ex＜0 ，  -k2-e2x＜0，
又∵a＞0，得 

a

3

＞0，
∴f（x）在（-∞，0）上單調遞減，
又∵f（k-e^x）≤f（-k²-e^2x）對任意的x≥0恒成立，
∴k-e^x≥-k²-e^2x，即k+k²≥e^x-e^2x，
設g（x）=e^x-e^2x，當x≥0時，g（x）_max=0，
∴k²+k≥0，解得，k≤-1或k≥0（舍去），
∴當a＞3，k≤-1時，f（k-e^x）≤f（-k²-e^2x）對任意的x≥0恒成立．

點評：本題主要考查導數的綜合應用，考查導數的幾何意義以及函數單調性與導數之間的關系，考查學生的運算能力．