Question

數(shù)列{a_n}中，已知a₁=

1

4

，

an+1

an

=

1

4

，b_n+2=3log 

1

4

a_n（n∈N^*）．
（1）求數(shù)列{a_n}，{b_n}的通項公式；
（2）設(shè)數(shù)列{c_n}滿足c_n=（-1）ⁿ⁺¹b_nb_n+1，且{c_n}的前n項和為S_n，若S_n≥tn²對任意n∈N^*恒成立，求實數(shù)t的取值范圍．

Answer 1

考點：數(shù)列遞推式,數(shù)列的求和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）利用等比數(shù)列的通項公式即可得出數(shù)列{a_n}的通項公式，利用對數(shù)運算法則能求出數(shù)列{b_n}的通項公式．
（2）對n分奇數(shù)與偶數(shù)討論，利用等差數(shù)列的前n項和公式、分離參數(shù)、基本不等式的性質(zhì)即可得出實數(shù)t的取值范圍．

解答： 解：（1）∵數(shù)列{a_n}中，a₁=

1

4

，

an+1

an

=

1

4

，
∴{a_n}是首項為

1

4

，公比為

1

4

的等比數(shù)列，
∴a_n=(

1

4

)n．
∴b_n+2=3log 

1

4

a_n=3log

1

4

(

1

4

)n=3n，
∴b_n=3n-2．
（2）由（1）知，a_n=（

1

4

）ⁿ，b_n=3n-2，
當(dāng)n為偶數(shù)時，
S_n=b₁b₂-b₂b₃+b₃b₄-…+b_n-1b_n-b_nb_n+1
=b₂（b₁-b₃）+b₄（b₃-b₅）+…+b_n（b_n-1-b_n+1）
=-6（b₂+b₄+…+b_n）
=-6•

(4+3n-2)• n 2

2

=-

3

2

n（3n+2）≥tn²，
即t≤-

3

2

（3+

2

n

）對n取任意正偶數(shù)都成立．
∴t≤-6．
當(dāng)n為奇數(shù)時，偶數(shù)時，
S_n=b₁b₂-b₂b₃+b₃b₄-…+b_n-1b_n-b_nb_n+1
=-

3

2

（n-1）[3（n-1）+2]+（3n-2）（3n+1）
=

9

2

n2+3n-

7

2

＞0，
對t≤-6時，S_n≥tn²恒成立，
綜上：t≤-6．

點評：本題考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項公式及其前n項和公式、分類討論方法，考查了恒成立問題的等價轉(zhuǎn)化方法，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．