Question

已知數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列，且a₂=5，a₄=9，數(shù)列{b_n}正項(xiàng)的等比數(shù)列，S_n是其前n項(xiàng)和，且S₂=

3

2

，S₄=

15

8

，數(shù)列{c_n}，通項(xiàng)c_n=a_n•b_n，則求{c_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：利用待定系數(shù)法，設(shè)首項(xiàng)和公差及公比，由已知列方程組，可得數(shù)列{a_n}和{b_n}的通項(xiàng)公式，進(jìn)而利用錯(cuò)位相減的方法求得T_n．（一個(gè)等差數(shù)列和一個(gè)等比數(shù)列對(duì)應(yīng)項(xiàng)之積組成的數(shù)列，可用錯(cuò)位相減法求和）

解答： 解：設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，正項(xiàng)等比數(shù)列{b_n}的公比為q（q＞0），
由a₂=5，a₄=9，可得d=2，
故a_n=2n+1，
由S₂=

3

2

，S₄=

15

8

，可得S₄-S₂=

3

8

，
故

S4-S2

S2

=q²=

1

4

，
故q=

1

2

，b₁=1，
故b_n=(

1

2

)n-1，
故c_n=a_n•b_n=（2n+1）(

1

2

)n-1，
∴T_n=3×1+5×

1

2

+7×(

1

2

)2+9×(

1

2

)3+…+（2n-1）(

1

2

)n-2+（2n+1）(

1

2

)n-1，…①

1

2

T_n=3×

1

2

+5×(

1

2

)2+7×(

1

2

)3+…+（2n-3）(

1

2

)n-2+（2n-1）(

1

2

)n-1+（2n+1）(

1

2

)n，…②
①-②得：

1

2

T_n=3+2×

1

2

+2×(

1

2

)2+2×(

1

2

)3+…+2×(

1

2

)n-1-（2n+1）(

1

2

)n
=1+4[1-(

1

2

)n]-（2n+1）(

1

2

)n=5-（2n+5）(

1

2

)n
故T_n=10-（4n+10）(

1

2

)n

點(diǎn)評(píng)：本題是數(shù)列求通項(xiàng)和前n項(xiàng)和的題型，高考常見，其中：
（1）可利用利用待定系數(shù)法求解，這是解數(shù)列題的一般方法，要熟練掌握．
（2）對(duì)于一個(gè)等差數(shù)列和一個(gè)等比數(shù)列對(duì)應(yīng)項(xiàng)之積組成的數(shù)列，可用錯(cuò)位相減法求和，這也是教材推導(dǎo)等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式時(shí)的方法．另外數(shù)列求和的方法還有倒序相加，裂項(xiàng)相消，分組求和等方法，要熟練掌握．都是高考中常考的知識(shí)點(diǎn)．