Question

18．已知拋物線x²=2py（p＞0）的焦點為F，過點F且傾斜角為150°的直線l與拋物線在第一、二象限分別交于A，B兩點，則$\frac{{|{BF}|}}{{|{AF}|}}$等于（　�。�

• A． 3
• B． $7+4\sqrt{3}$
• C． $\frac{1}{3}$
• D． $3+2\sqrt{2}$

Answer 1

分析 設直線l的方程為：x=-$\sqrt{3}$（y-$\frac{p}{2}$），代入拋物線方程，求得A和B坐標，由拋物線的焦點弦公式，即可求得$\frac{{|{BF}|}}{{|{AF}|}}$的值．

解答 解：設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直線l的方程為：x=-$\sqrt{3}$（y-$\frac{p}{2}$）則：
$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}=2py}\\{x=-\sqrt{3}（y-1）}\end{array}\right.$，消去x可得12y²-20py+3p²=0，
點A在第一象限，解得：y₁=$\frac{p}{6}$，y₂=$\frac{3p}{2}$，
∴$\frac{{|{BF}|}}{{|{AF}|}}$=$\frac{{y}_{2}+\frac{p}{2}}{{y}_{1}+\frac{p}{2}}$=$\frac{\frac{3p}{2}+\frac{p}{2}}{\frac{p}{6}+\frac{p}{2}}$=3，
故選A．

點評 本題考查拋物線的焦點弦公式，直線與拋物線位置關(guān)系，考查計算能力，屬于中檔題．