Question

如圖，四棱錐P-ABCD的底面是邊長為1的正方形，PA⊥CD，PA=1，PD=

2

．
（1）求證：PA⊥平面ABCD；
（2）求四棱錐P-ABCD的體積；
（3）求四棱錐P-ABCD的表面積．

Answer 1

考點：直線與平面垂直的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）由已知得PA⊥AD，又PA⊥CD，由此能證明PA⊥平面ABCD．
（2）四棱錐P-ABCD的底面積為1，四棱錐P-ABCD的高為1，由此能求出四棱錐P-ABCD的體積．
（3）四棱錐P-ABCD的表面積S=S_{正方形ABCD}+S_△PAB+S_△PAD+S_△PDC+S_△PBC，由此能求出結(jié)果．

解答： （1）證明：因為四棱錐P-ABCD的底面是邊長為1的正方形，
PA=1，PD=

2

，
所以PD²=PA²+AD²，
所以PA⊥AD，
又PA⊥CD，AD∩CD=D，
所以PA⊥平面ABCD．
（2）解：四棱錐P-ABCD的底面積為1，
因為PA⊥平面ABCD，所以四棱錐P-ABCD的高為1，
所以四棱錐P-ABCD的體積為V=

1

3

×1×1=

1

3

．
（3）解：∵PA⊥平面ABCD，ABCD是邊長為1的正方形，
∴PD=PB=

2

，PD⊥DC，PB⊥BC，
∴四棱錐P-ABCD的表面積：
S=S_{正方形ABCD}+S_△PAB+S_△PAD+S_△PDC+S_△PBC
=1×1+

1

2

×1×1+

1

2

×1×1+

1

2

×

2

×1+

1

2

×

2

×1
=2+

2

．

點評：本題考查直線與平面垂直的證明，考查四棱錐的體積和表面積的求法，解題時要注意空間思維能力的培養(yǎng)．