如圖,直線AB過(guò)圓心O,交圓O于A、B,直線AF交圓O于F(不與B重合),直線L與圓O相切于C,交AB于E,且與AF垂直,垂足為G,連接AC.求證:
(Ⅰ)∠BAC=CAG;
(Ⅱ)AC2=AE•AF.
【答案】分析:(I)由圓周角定理的推論2,我們易判斷∠BCA為直角,結(jié)合弦切角定理,及直線L與圓O相切于C,交AB于E,且與AF垂直,我們易結(jié)合等角的余角相等得到答案.
(II)由弦切角定理得∠ACE=∠AFC,結(jié)合(I)的結(jié)論,可得到△ACF∽△AEC,由三角形相似的性質(zhì),即可得到答案.
解答:證明:(Ⅰ)連接BC,
∵AB是直徑,
∴∠ACB=90°,
∴∠ACB=∠AGC=90°.(2分)
∵GC切圓O于C,
∴∠GCA=∠ABC.(4分)
∴∠BAC=∠CAG.(5分)
(Ⅱ)連接CF,∵EC切圓O于C,∴∠ACE=∠AFC.(6分)
又∠BAC=∠CAG,∴△ACF∽△AEC.(8分)
,∴AC2=AE•AF(10分)
點(diǎn)評(píng):本題考查的知識(shí)點(diǎn)是圓的切線的性質(zhì),弦切角定理,圓周角定理,其中分析角與角之間的關(guān)系時(shí),與圓相關(guān)的要首先考慮圓周角定理,有切線的必要考慮弦切角.
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選修4-1:幾何證明選講
如圖,直線AB過(guò)圓心O,交圓O于A,B兩點(diǎn),直線AF交圓O于F,(F不與B重合),直線l與圓O相切于點(diǎn)C,交AB的延長(zhǎng)線于E,且與AF垂直,垂足為G,連接AC.
(Ⅰ)求證:∠BAC=∠CAG;
(Ⅱ)求證:AC2=AE•AF.

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精英家教網(wǎng)如圖,直線AB過(guò)圓心O,交圓O于A、B,直線AF交圓O于F(不與B重合),直線L與圓O相切于C,交AB于E,且與AF垂直,垂足為G,連接AC.求證:
(Ⅰ)∠BAC=CAG;
(Ⅱ)AC2=AE•AF.

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如圖,直線AB過(guò)圓心O,交F(不與B重合),直線相切于C,交ABE,且與AF垂直,垂足為G,連結(jié)AC

求證:(1;(2

 

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如圖,直線AB過(guò)圓心O,交F(不與B重合),直線相切于C,交ABE,且與AF垂直,垂足為G,連結(jié)AC.

求證:(1;(2.

 

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(本小題滿分10分)選修4-1:幾何證明選講

如圖,直線AB過(guò)圓心O,交圓O于A、B,直線AF交圓O于F(不與B重合),直線與圓O相切于C,交AB于E,且與AF垂直,垂足為G,連接AC.

求證:(Ⅰ);

     (Ⅱ)

 

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