若函數(shù)f(x)=x3-3x+a有三個不同的零點,求實數(shù)a的取值范圍.
(本小題滿分12分)
解:由函數(shù)f(x)=x
3-3x+a有三個不同的零點,
則函數(shù)f(x)有兩個極值點,極小值小于0,極大值大于0;
由f′(x)=3x
2-3=3(x+1)(x-1)=0,解得x
1=1,x
2=-1,
所以函數(shù)f(x)的兩個極,x∈(-∞,-1),f′(x)>0,x∈(-1,1),f′(x)<0,x∈(1,+∞),f′(x)>0,
∴函數(shù)的極小值f(1)=a-2和極大值f(-1)=a+2.
因為函數(shù)f(x)=x
3-3x+a有三個不同的零點,
所以
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/17215.png)
,解之,得-2<a<2.
故實數(shù)a的取值范圍是(-2,2).
分析:已知條件轉(zhuǎn)化為函數(shù)有兩個極值點,并且極小值小于0,極大值大于0,求解即可.
點評:本題是中檔題,考查函數(shù)的導數(shù)與函數(shù)的極值的關系,考查轉(zhuǎn)化思想,計算能力.