Question

下列說法正確的為

①③④

．
①函數(shù)y=f（x）與直線x=l的交點個數(shù)為0或l；
②a∈（

1

4

，+∞）時，函數(shù)y=lg（x²+x+a）的值域為R；
③函數(shù)y=f（2-x）與函數(shù)y=f（x-2）的圖象關于直線x=2對稱；
④若函數(shù)f（x）=a^x，則?x₁，?x₂∈R，都有f（

x1+x2

2

）＜

f(x1)+f(x2)

2

；
⑤若函數(shù)f(x)=log

2

x，則?x₁，x₂∈（0，+∞），都有

f(x1)-f(x2)

x1-x2

＜0．

Answer 1

分析：①根據(jù)函數(shù)的定義可知，對任意的x都有唯一的y與之對應，當x=1不在定義域內時，y=f（x）與x=1沒有交點，當x=1在定義域時，函數(shù)y=f（x）與直線x=l的交點為l個；
②a∈（

1

4

，+∞）時，例如a=

5

4

時，函數(shù)y=lg（x²+x+a）＞0；
③函數(shù)y=f（2-x）圖象上任取一點P（x，y），其關于直線x=2對稱對稱的點Q（4-x，y），把Q代入y=f（x-2）=f（4-x-2）=f（2-x），可判斷
④利用基本不等式可得，

f(x1)+f(x2)

2

=

ax1+ax2

2

≥

ax1•ax2

=a

x1+x2

2

=f（

x1+x2

2

）=a

x1+x2

2

⑤函數(shù)f(x)=log

2

x在（0，+∞）單調遞增，則由單調性的定義可知有

f(x1)-f(x2)

x1-x2

＞0

解答：解：①根據(jù)函數(shù)的定義可知，對任意的x都有唯一的y與之對應，當x=1不在定義域內時，y=f（x）與x=1沒有交點，當x=1在定義域時，函數(shù)y=f（x）與直線x=l的交點為l個，從而可得y=f（x）與x=1的交點有1個或0個，故①正確
②a∈（

1

4

，+∞）時，例如a=

5

4

時，t=x2+x+a=(x+

1

2

)2+a-

1

4

＞1，則函數(shù)y=lg（x²+x+a）＞0；此時函數(shù)的值域不為R，②錯誤
③函數(shù)y=f（2-x）圖象上任取一點P（x，y），關于直線x=2對稱對稱的點Q（4-x，y），把Q代入y=f（x-2）=f（4-x-2）=f（2-x），即函數(shù)y=f（2-x）上的任意一點關于直線x=2對稱對稱的點在y=f（x-2）上，即y=f（2-x）與函數(shù)y=f（x-2）的圖象關于直線x=2對稱；③正確
④若函數(shù)f（x）=a^x，

f(x1)+f(x2)

2

=

ax1+ax2

2

≥

ax1•ax2

=a

x1+x2

2

=f（

x1+x2

2

）=a

x1+x2

2

，正確
⑤函數(shù)f(x)=log

2

x在（0，+∞）單調遞增，則由單調性的定義可知有，當x₁＞x₂時，f（x₁）＞f（x₂），即

f(x1)-f(x2)

x1-x2

＞0，錯誤
故答案為①③④

點評：本題主要考查了函數(shù)的定義，對數(shù)函數(shù)的單調性在值域求解中的應用指數(shù)函數(shù)單調性及基本不等式的應用．