Question

已知函數(shù)，當(dāng)時，.

（1）若函數(shù)在區(qū)間上存在極值點，求實數(shù)a的取值范圍；

（2）如果當(dāng)時，不等式恒成立，求實數(shù)k的取值范圍；

（3）試證明：.

 

Answer 1

（1）；（2）；（3）證明過程詳見解析.

【解析】

試題分析：本題主要考查導(dǎo)數(shù)的運算、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值與最值等數(shù)學(xué)知識，考查學(xué)生分析問題解決問題的能力、轉(zhuǎn)化能力和計算能力.第一問，先對求導(dǎo)，利用，判斷函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，利用單調(diào)性的變化，判斷有無極值；第二問，將已知的恒成立問題轉(zhuǎn)化為，即轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最小值問題，利用導(dǎo)數(shù)判斷的單調(diào)性，求出最小值；第三問，利用第二問的結(jié)論進行變形，得到類似所證結(jié)論的表達(dá)式，通過式子的累加得到所證結(jié)論.

試題解析：（1）當(dāng)x>0時，，有

；

所以在（0，1）上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，

函數(shù)在處取得唯一的極值．由題意，且，解得

所求實數(shù)的取值范圍為. 4分

（2）當(dāng)時， 5分

令，由題意，在上恒成立

6分

令，則，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號．

所以在上單調(diào)遞增，． 8分

因此， 在上單調(diào)遞增，．

所以．所求實數(shù)的取值范圍為 9分

（3）由（2），當(dāng)時，即，即． 10分

從而． 12分

令，得，

將以上不等式兩端分別相加，得

14分

考點：1.利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；2.利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值和最值；3.恒成立問題.