如圖，橢圓C：（a＞b＞0）的離心率為，其左焦點(diǎn)到點(diǎn)P（2，1）的距離為．不過原點(diǎn)O的直線l與C相交于A，B兩點(diǎn)，且線段AB被直線OP平分。
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）求△ABP的面積取最大時(shí)直線l的方程
解：（Ⅰ）由題：； （1）
左焦點(diǎn)（-c，0）到點(diǎn)P（2，1）的距離為：（2）
由（1）（2）可解得：
∴所求橢圓C的方程為：。
（Ⅱ）易得直線OP的方程：y＝x，
設(shè)A（xA，yA），B（xB，yB），R（x0，y0）
其中y0＝x0
∵A，B在橢圓上，
∴
設(shè)直線AB的方程為l：y＝﹣（m≠0），
代入橢圓：
顯然
∴﹣＜m＜且m≠0
由上又有：＝m，＝
∴|AB|＝||＝＝
∵點(diǎn)P（2，1）到直線l的距離為：
∴S△ABP＝d|AB|＝|m＋2|，
當(dāng)|m＋2|＝，即m＝-3 or  m＝0（舍去）時(shí)，
（S△ABP）max＝
此時(shí)直線l的方程y＝-。
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖，橢圓C：數(shù)學(xué)公式（a＞b＞0）的一個(gè)焦點(diǎn)是F（-數(shù)學(xué)公式，0），離心率e=數(shù)學(xué)公式，過點(diǎn)A（0，-2）且不與y軸重合的直線l與橢圓C相交于不同的兩點(diǎn)P、Q
（1）求橢圓C的方程；
（2）若點(diǎn)F到直線l的距離為2，求直線l的方程；
（3）問在y軸上是否存在一個(gè)定點(diǎn)B，使得直線PB與橢圓C的另一個(gè)交點(diǎn)R是點(diǎn)Q關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)？若存在，求出定點(diǎn)B的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2012-2013學(xué)年廣東省珠海一中高二（上）期中數(shù)學(xué)試卷（理科）（解析版） 題型：填空題

如圖，橢圓C：，a，b為常數(shù)），動(dòng)圓，b＜t1＜a．點(diǎn)A1，A2分別為C的左，右頂點(diǎn)，C1與C相交于A，B，C，D四點(diǎn)．
（Ⅰ）求直線AA1與直線A2B交點(diǎn)M的軌跡方程；
（Ⅱ）設(shè)動(dòng)圓與C相交A′，B′，C′，D′四點(diǎn)，其中b＜t2＜a，t1≠t2．若矩形ABCD與矩形A′B′C′D′的面積相等，證明：為定值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2011-2012學(xué)年福建省廈門一中高二（上）期中數(shù)學(xué)試卷（理科）（解析版） 題型：解答題

如圖，橢圓C：（a＞b＞0）的一個(gè)焦點(diǎn)為F（1，0），且過點(diǎn)（2，0）．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）若AB為垂直于x軸的動(dòng)弦，直線l：x=4與x軸交于點(diǎn)N，直線AF與BN交于點(diǎn)M．
（ⅰ）求證：點(diǎn)M恒在橢圓C上；
（ⅱ）求△AMN面積的最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2008-2009學(xué)年北京市昌平區(qū)高二（上）期末數(shù)學(xué)試卷（理科）（解析版） 題型：填空題

如圖，橢圓C：（a＞b＞0）的一個(gè)焦點(diǎn)為F（1，0），且過點(diǎn)（2，0）．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）若AB為垂直于x軸的動(dòng)弦，直線l：x=4與x軸交于點(diǎn)N，直線AF與BN交于點(diǎn)M．
   （�。┣笞C：點(diǎn)M恒在橢圓C上；
   （ⅱ）求△AMN面積的最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2008年福建省高考數(shù)學(xué)試卷（文科）（解析版） 題型：解答題

如圖，橢圓C：（a＞b＞0）的一個(gè)焦點(diǎn)為F（1，0），且過點(diǎn)（2，0）．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）若AB為垂直于x軸的動(dòng)弦，直線l：x=4與x軸交于點(diǎn)N，直線AF與BN交于點(diǎn)M．
（�。┣笞C：點(diǎn)M恒在橢圓C上；
（ⅱ）求△AMN面積的最大值．

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