Question

（本題滿分14分）在單調(diào)遞增數(shù)列中，，，且成等差數(shù)列，成等比數(shù)列，．

（Ⅰ）（�。┣笞C：數(shù)列為等差數(shù)列；

（ⅱ）求數(shù)列的通項公式.

（Ⅱ）設數(shù)列的前項和為，證明：，．

Answer 1

（1）緊扣等差數(shù)列定義證明，（2）當為偶數(shù)時，當為奇數(shù)時.（3）證明見解析

【解析】

試題分析：要證明數(shù)列為等差數(shù)列，只需證明成立，由于數(shù)列首項為正，

數(shù)列為單調(diào)遞增，說以，由成等差數(shù)列，得……（1），由因為，成等比數(shù)列，則，于是代入（1）式整理得：得證；先求，備用，由于數(shù)列為等差數(shù)列，可借助等差數(shù)列通項公式求出，再由求出，最后分為奇數(shù)和偶數(shù)兩種情況表達，由于數(shù)列的通項公式分為奇數(shù)和偶數(shù)兩種情況表達的，所以需要合在一起，合成公式是

，合成后對進行放縮，這里技巧很重要，

，再求，最后利用裂項相消法求和達到證明不等式的目的；

試題解析：（�。┮驗閿�(shù)列為單調(diào)遞增數(shù)列，，所以（）.由題意

成等差數(shù)列，成等比數(shù)列，．得,，于是

，化簡得，所以數(shù)列為等差數(shù)列.

（ⅱ）又，，所以數(shù)列的首項為，公差為，所以，從而.結(jié)合可得.因此，當為偶數(shù)時，當為奇數(shù)時.

（2）所以數(shù)列的通項公式為：

.因為

,所以;則有

，所以，．

考點：數(shù)列與不等式