如圖，四棱錐S－ABCD的底面是矩形，SA⊥底面ABCD，P為BC邊的中點，SB與平面ABCD所成的角為45°，且AD＝2，SA＝1．

(1)求證：PD⊥平面SAP．

(2)求二面角A―SD―P的余弦值．

答案：
解析：

　　解：(法一)(1)因為底面ABCD，

　　所以是SB與平面ABCD所成的角　　1分

　　由已知，所以，

　　易求得　　2分

　　又因為所以，

　　所以　　3分

　　因為底面ABCD，平面ABCD，

　　所以　　4分

　　由于，所以平面SAP　　5分

　　(2)設Q為AD的中點，連接PQ　　6分

　　由于底面ABCD，且平面SAD，

　　則平面SAD平面PAD　　7分

　　因為所以平面SAD，

　　過Q作，垂足為R，連接PR，

　　由三垂線定理可知，

　　所以是二面角的平面角　　9分

　　容易證明∽，則．

　　因為，

　　所以　　10分

　　在中，因為，

　　所以　　11分

　　所以二面角的余弦值為　　12分

　　(法二)因為底面ABCD，

　　所以是SB與平面ABCD所成的角　　1分

　　所以，所以．

　　建立空間直角坐標系(如圖)，

　　由已知P為BC的中點，于是A(0，0，0)，B(1，0，0)，P(1，1，0)，D(0，2，0)，

　　S(0，0，1)．

　　(1)易求得，(－1，1，0)，(－1，－1，1)．

　　因為，

　　

　　所以．

　　由于，所以平面SAP　　5分

　　(2)設平面SPD的法向量為，

　　由得，解得，

　　所以　　8分

　　又因為平面SAD，

　　所以是平面SAD的法向量，

　　易得，二面角為銳二面角　　9分

　　所以　　11分

　　所以的余弦值為　　12


練習冊系列答案
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精英家教網(wǎng)如圖，四棱錐S-ABCD中，SD⊥底面ABCD，AB∥DC，AD⊥DC，AB=AD=1，DC=SD=2，E為棱SB上的一點，平面EDC⊥平面SBC．
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3
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1
3
AB  CG=
1
3
SC．
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π4
． 
（1）求證：平面SPD⊥平面SAP；
（2）求三棱錐S-APD的體積．

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（2）求三棱錐E-BCD的體積V．

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（2006•西城區(qū)二模）如圖，四棱錐S-ABCD中，平面SAC與底面ABCD垂直，側棱SA、SB、SC與底面ABCD所成的角均為45°，AD∥BC，且AB=BC=2AD．
（1）求證：四邊形ABCD是直角梯形；
（2）求異面直線SB與CD所成角的大��；
（3）求直線AC與平面SAB所成角的大�。�

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