Question

（2012•河北區(qū)一模）如圖展示了一個由區(qū)間（0，1）到實數(shù)集R的映射過程：如圖1，在區(qū)間（0，1）中數(shù)軸上的點M對應(yīng)實數(shù)m；如圖2，將線段AB圍成一個圓，使兩端點A、B恰好重合；如圖3，將這個圓放在平面直角坐標(biāo)系中，使其圓心在y軸上，點A的坐標(biāo)為（0，1），射線AM與x軸交于點N（n，0）．則n就是m的象，記作f（m）=n．

下列說法：
①f（x） 的定義域為（0，1），值域為R；
②f（x） 是奇函數(shù)；
③f（x） 在定義域上是單調(diào)函數(shù)；
④f（

1

4

）=-

1

2

；
⑤f（x） 的圖象關(guān)于點（

1

2

，0）對稱．
其中正確命題的序號是

①③⑤

．（寫出所有正確命題的序號）

Answer 1

分析：①通過M點的運動軌跡以及直線的變化可求定義域和值域．
②由定義域不關(guān)于原點對稱，可判斷函數(shù)不是奇函數(shù)．
③在圓上，當(dāng)點M在圓上運動時，N由x的負(fù)半軸向正半軸運動時，可判斷函數(shù)的單調(diào)性．
④當(dāng)m=

1

4

時，此時M恰好處在左半圓弧的中點上，此時可以求出對應(yīng)直線AM的方程，進而可求n．
⑤根據(jù)點M的運動過程，可知函數(shù)的對稱性．

解答：解：①因為圖中展示了一個由區(qū)間（0，1）到實數(shù)集R的映射過程，所以函數(shù)的定義域為（0，1），值域為R．所以①正確．
②由①知函數(shù)的定義域為（0，1），關(guān)于原點不對稱，所以函數(shù)f（x）為非奇非偶函數(shù)，所以②錯誤．
③圖3可以看出，m由0增大到1時，M由A運動到B，此時N由x的負(fù)半軸向正半軸運動，由此知，N點的橫坐標(biāo)逐漸變大，故f（x）在定義域上單調(diào)遞增．所以③正確．
④因為AB=1，所以圓的周長為1，由2πr=1，所以解得圓的半徑r=

1

2π

，所以圓心坐標(biāo)為（0，1-

1

2π

）．當(dāng)m=

1

4

時，此時M恰好處在左半圓弧的中點上，此時M的坐標(biāo)為（-

1

2π

，1-

1

2π

），對應(yīng)直線AM的方程為y=x+1．當(dāng)y=0，時，解得x=-1，即N（-1，0），所以n=-1，即f（

1

4

）=-1．所以④錯誤．
⑤圖3可以看出，當(dāng)M點的位置離中間位置相等時，N點關(guān)于y軸對稱，即此時函數(shù)值互為相反數(shù)，故可知f（x）的圖象關(guān)于點（

1

2

，0）對稱，所以⑤正確．
所以正確命題的序號是①③⑤．
故答案為：①③⑤

點評：本題考查了函數(shù)的實際應(yīng)用，考查學(xué)生的閱讀和分析能力．本題難度較大，正確閱讀題意知解題的關(guān)鍵．