Question

（2010•上饒二模）設函數f(x)=

x2+bx+c，(x≥0) 2，(x＜0)

，若f（4）=f（0），f（2）=-2．則函數F（x）=f（|x|）-|x|的零點個數為（　�。�

A．1

B．2

C．3

D．4

Answer 1

分析：把原函數零點的個數轉化為方程的根，進而轉化為兩個函數圖象交點的個數，數形結合，即可求解

解答：解：∵當x≥0時，f（x）=x²+bx+c，且f（4）=f（0）
∴對稱軸為x=-

b

2

=2
∴b=-4
又∵f（2）=4-4×2+c=-2
∴c=2
∴當x≥0時，f（x）=x²-4x+2
又函數F（x）=f（|x|）-|x|的零點個數，即為方程F（x）=0的根的個數
即f（|x|）-|x|=0的根的個數
亦即f（|x|）=|x|的根的個數
設h（x）=f（|x|），g（x）=|x|（　　）
原函數零點的個數轉化為函數y=h（x），y=g（x）的圖象的交點的個數，
y=h（x），y=g（x）圖象如圖：
有4個不同的交點
故選D

點評：本題考察函數的零點，要注意函數的零點與方程的根，及函數圖象與x軸交點的橫坐標的關系，同時注意數形結合．作圖象時要注意圖象變換的方法，如平移變換、伸縮變換、對稱變換等