Question

ABCD-A₁B₁C₁D₁是正方體，點(diǎn)O為正方體對角線的交點(diǎn)，過點(diǎn)O的任一平面α，正方體的八個(gè)頂點(diǎn)到平面α的距離作為集合A的元素，則集合A中的元素個(gè)數(shù)最多為（ ）
A．3個(gè)
B．4個(gè)
C．5個(gè)
D．6個(gè)

Answer 1

【答案】分析：根據(jù)題意，由正方體的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，可得O是線段A₁C的中點(diǎn)，過點(diǎn)O作任一平面α，設(shè)A₁C與α所成的角為θ，分析可得點(diǎn)A₁與C到平面α的距離相等，同理可得B與D₁，A與C₁，D與B₁到平面α的距離相等，則可得集合A中的元素個(gè)數(shù)最多為4個(gè)，即可得答案．
解答：解：根據(jù)題意，如圖，點(diǎn)O為正方體對角線的交點(diǎn)，則O是線段A₁C的中點(diǎn)，
過點(diǎn)O作任一平面α，設(shè)A₁C與α所成的角為θ，
分析可得點(diǎn)A₁與C到平面α的距離相等，均為，
同理B與D₁到平面α的距離相等，
A與C₁到平面α的距離相等，
D與B₁到平面α的距離相等，
則集合A中的元素個(gè)數(shù)最多為4個(gè)；
故選B．
點(diǎn)評：本題考查正方體的幾何結(jié)構(gòu)，注意正方體中心的性質(zhì)，即體對角線的交點(diǎn)，從而分析得到體對角線的兩個(gè)端點(diǎn)到平面α的距離相等．