Question

如圖，在四棱錐中，底面為直角梯形，且，，側(cè)面底面. 若.

（Ⅰ）求證：平面；

（Ⅱ）側(cè)棱上是否存在點(diǎn)，使得平面？若存在，指出點(diǎn) 的位置并證明，若不存在，請說明理由；

（Ⅲ）求二面角的余弦值.

 

Answer 1

【答案】

(1) 對(duì)于線面垂直的證明主要是根據(jù)線面垂直的判定定理，先通過線線垂直來得到證明。(2)

【解析】

試題分析：解法一：

（Ⅰ）因?yàn)?，所以.

又因?yàn)閭?cè)面底面，且側(cè)面底面，所以底面.而底面，所以.     2分

在底面中，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013060111054719508570/SYS201306011106525856504996_DA.files/image011.png">，，

所以 ， 所以.

又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013060111054719508570/SYS201306011106525856504996_DA.files/image015.png">， 所以平面.            4分

（Ⅱ）在上存在中點(diǎn)，使得平面，

證明如下：設(shè)的中點(diǎn)是， 連結(jié)，，，則，且. 由已知，所以. 又，所以，且，

所以四邊形為平行四邊形，所以.

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013060111054719508570/SYS201306011106525856504996_DA.files/image036.png">平面，平面，

所以平面.           8分

（Ⅲ）設(shè)為中點(diǎn)，連結(jié)，

則 .又因?yàn)槠矫?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013060111054719508570/SYS201306011106525856504996_DA.files/image044.png">平面，

所以 平面.過作于，

連結(jié)，則，所以

所以是二面角的平面角.

設(shè)，則, .在中，由相似三角形可得：，所以.所以 ，.即二面角的余弦值為.                 14分

解法二：因?yàn)?，所以.

又因?yàn)閭?cè)面底面，

且側(cè)面底面，所以 底面.又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013060111054719508570/SYS201306011106525856504996_DA.files/image062.png">，所以，，兩兩垂直.分別以，，為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖.設(shè)，則，，，，. 

（Ⅰ），，,

可得 ，，所以，.

又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013060111054719508570/SYS201306011106525856504996_DA.files/image079.png">， 所以平面.              4分

（Ⅱ）設(shè)側(cè)棱的中點(diǎn)是， 則，.

設(shè)平面的一個(gè)法向量是，則  

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013060111054719508570/SYS201306011106525856504996_DA.files/image084.png">，，所以   取，則.

所以， 所以.

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013060111054719508570/SYS201306011106525856504996_DA.files/image036.png">平面，所以平面.               8分

（Ⅲ）由已知，平面，所以為平面的一個(gè)法向量.

由（Ⅱ）知，為平面的一個(gè)法向量.

設(shè)二面角的大小為，由圖可知，為銳角，

所以.即二面角的余弦值為.    14分

考點(diǎn)：線面垂直的證明，二面角的平面角

點(diǎn)評(píng)：解決的關(guān)鍵是能熟練的借助于線面垂直的判定定理來證明，同時(shí)能結(jié)合二面角的平面角的概念來運(yùn)用向量法或者是幾何法加以證明，屬于中檔題。