Question

【題目】設(shè)正數(shù)數(shù)列的前項(xiàng)和為，對(duì)于任意，是和的等差中項(xiàng).

（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

（2）設(shè)，是的前項(xiàng)和，是否存在常數(shù)，對(duì)任意，使恒成立？若存在，求取值范圍；若不存在，說(shuō)明理由.

Answer 1

【答案】；存在實(shí)數(shù)符合題意.

【解析】

根據(jù)是和的等差中項(xiàng),可知,且，則當(dāng)時(shí),有,兩式相減并化簡(jiǎn)即可求解;

由知,，由題意知,, 假設(shè)存在常數(shù)，對(duì)任意，使恒成立等價(jià)于對(duì)任意，恒成立,整理化簡(jiǎn)，利用分離參數(shù)法求解恒成立問題即可.

由是和的等差中項(xiàng)可知,,且，

則當(dāng)時(shí),有,

兩式相減可得, ,

即,，化簡(jiǎn)可得,,

所以數(shù)列是以為首項(xiàng),為公差的等差數(shù)列,

所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為；

由知,,因?yàn)?/span>,所以數(shù)列的前項(xiàng)和,

假設(shè)存在常數(shù)，對(duì)任意，使恒成立

即對(duì)任意，恒成立,

等價(jià)于對(duì)任意，恒成立,即小于的最小值即可.

所以滿足對(duì)任意，使恒成立.

所以存在這樣的實(shí)數(shù)，對(duì)任意，使恒成立，實(shí)數(shù)的取值范圍為.