已知數(shù)列{an}滿足a1=2,向量
a
=(2,-1),
b
=(an+2n,an+1)且
a
b

(Ⅰ)求證數(shù)列{
an
2n
}為等差數(shù)列,并求{an}通項公式;
(Ⅱ)設bn=
an
n(n+1)2
,若對任意n∈N*都有bn
m2-3m
9
成立,求實數(shù)m的取值范圍.
考點:數(shù)列的求和,等差數(shù)列的性質(zhì)
專題:等差數(shù)列與等比數(shù)列
分析:(Ⅰ)利用向量數(shù)量積的坐標運算可得an+1=2an+2n+1,整理得
an+1
2n+1
=
an
2n
+1
,于是可證數(shù)列{
an
2n
}為等差數(shù)列,繼而可得{an}通項公式;
(Ⅱ)依題意可知bn=
2n
(n+1)2
,令
bn+1
bn
=2•[
n+1
n+2
]2>1
,依題意,可求得(bn)min=
4
9
,解不等式
m2-3m
9
4
9
即可求得m的取值范圍.
解答: (Ⅰ)證明:因為
a
=(2,-1),
b
=(an+2n,an+1)且
a
b

所以2(an+2n)-an+1=0…2 分
an+1=2an+2n+1,∴
an+1
2n+1
=
an
2n
+1
…4 分
所以數(shù)列{
an
2n
}
為等差數(shù)列,…5 分
an
2n
=
a1
2
+(n-1)×1=n
,
an=n×2n…6 分
(Ⅱ)解:依題意可知bn=
2n
(n+1)2
,令
bn+1
bn
=2•[
n+1
n+2
]2>1
,得n2>2⇒n>
2
…8 分
即當n≥2,n∈N,都有b2<b3<…<bn,…9 分
b1=
1
2
b2=
4
9
,故(bn)min=
4
9
…10分
從而
m2-3m
9
4
9
,解得-1<m<4…13 分
點評:本題考查數(shù)列的求和,考查等差數(shù)列關系的確定及函數(shù)恒成立問題,考查轉(zhuǎn)化思想與運算能力,屬于中檔題.
練習冊系列答案
相關習題

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

各項都為正數(shù)的等比數(shù)列{an}中,a1=2,a3=8,則公比q的值為( 。
A、2B、3C、4D、5

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

在復平面內(nèi),復數(shù)
2
1+i
(i是虛數(shù)單位)所對應的點位于( 。
A、第一象限B、第二象限
C、第三象限D、第四象限

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

某醫(yī)療研究所為了檢驗某種血清預防感冒的作用,把500名使用血清的人與另外500名未使用血清的人一年中的感冒記錄作比較,提出假設H0:“這種血清不能起到預防感冒的作用”,利用2×2列聯(lián)表計算的K2≈3.918,經(jīng)查對下面的臨界值表,我們( 。
P(K2≥k0 0.50 0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
k0 0.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
A、至少有95%的把握認為“這種血清能起到預防感冒的作用”
B、至少有99%的把握認為“這種血清能起到預防感冒的作用”
C、至少有97.5%的把握認為“這種血清能起到預防感冒的作用”
D、沒有充分理由說明“這種血清能起到預防感冒的作用”

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

某市糧食儲備庫的設計容量為30萬噸,年初庫存糧食10萬噸,從元月份起,計劃每月收購M萬噸,每月內(nèi)供給市面粉廠糧食1萬噸,另外每月還有大量的糧食外調(diào)任務.已知n個月內(nèi),外調(diào)糧食的總量W萬噸與n的函數(shù)關系為W=10
n
(1≤n≤16),要使在16個月內(nèi)每月糧食收購后,能滿足內(nèi)用、外調(diào)的需要,且每月糧食調(diào)出后,糧庫內(nèi)有不超過設計容量的儲備糧,求M的范圍.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

甲乙兩個興趣小組,甲有5人,乙有7人,從這12人中選3人參加比賽,已知在甲組有1人確定參加比賽的條件下,求另外兩人恰好甲乙兩組各1人的概率?

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)和圓O:x2+y2=b2,過橢圓上一點P引圓O的兩條切線,切點分別為A,B.
(1)(。┤魣AO過橢圓的兩個焦點,求橢圓的離心率e的值;
(ⅱ)若橢圓上存在點P,使得∠APB=90°,求橢圓離心率e的取值范圍;
(2)設直線AB與x軸、y軸分別交于點M,N,問當點P在橢圓上運動時,
a2
|ON|2
+
b2
|OM|2
是否為定值?請證明你的結(jié)論.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)的定義域為R,對一切x,y∈R,都有f(xy)=f(x)+f(y).
(1)判斷函數(shù)的奇偶性;
(2)若f(4)=1,且f(x)在(0,+∞)是增函數(shù),解不等式f(3x+1)+f(2x-6)≤3.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知集合A={a,b},集合B={c,d,e}.
(1)試建立一個由A到B的映射;
(2)由A到B的映射共有多少個?
(3)由(1),(2)你能否得出一個結(jié)論?

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