Question

（1）已知f（x+

1

x

）=x²+

1

x2

，求f（x）的解析式；
（2）已知f（

2

x

+1）=lg x，求f（x）的解析式；
（3）已知f（x）是一次函數(shù)，且滿足3f（x+1）-2f（x-1）=2x+17，求f（x）的解析式；
（4）定義在（-1，1）內(nèi)的函數(shù)f（x）滿足2f（x）-f（-x）=lg（x+1），求函數(shù)f（x）的解析式．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)解析式的求解及常用方法

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）應(yīng)用配方法，求出f（x）的解析式，要注意f（x）的定義域是什么；
（2）應(yīng)用換元法，設(shè)

2

x

+1=t，求出x，代入函數(shù)解析式，求出f（x）的解析式；
（3）應(yīng)用待定系數(shù)法，由f（x）是一次函數(shù)，設(shè)出f（x）的解析式，求出系數(shù)，即得f（x）的解析式；
（4）應(yīng)用方程組，以-x代x，列出方程組，求出f（x）的解析式．

解答： 解：（1）∵f（x+

1

x

）=x²+

1

x2

=(x+

1

x

)2-2，
∴f（x）=x²-2，且x≥2或x≤-2，
∴f（x）的解析式是f（x）=x²-2（其中x≥2或x≤-2）；
（2）設(shè)

2

x

+1=t，則x=

2

t-1

，代入函數(shù)解析式，
得f（t）=lg 

2

t-1

，
又∵x＞0，所以t＞1；
∴f（x）的解析式是f（x）=lg 

2

x-1

（其中x＞1）；
（3）∵f（x）是一次函數(shù)，設(shè)f（x）=ax+b（其中a≠0），
∴3[a（x+1）+b]-2[a（x-1）+b]=2x+17，
即ax+（5a+b）=2x+17，
∴應(yīng)有

a=2 5a+b=17

，
解得

a=2 b=7.

；
∴f（x）的解析式是f（x）=2x+7；
（4）當(dāng)x∈（-1，1）時(shí)，2f（x）-f（-x）=lg（x+1）①，
以-x代x有：2f（-x）-f（x）=lg（-x+1）②；
由①、②聯(lián)立，消去f（-x），得
f（x）=

2

3

lg（x+1）+

1

3

lg（1-x），x∈（-1，1）；
∴f（x）的解析式是f（x）=

2

3

lg（x+1）+

1

3

lg（1-x），x∈（-1，1）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了幾種求函數(shù)解析式的應(yīng)用問題，解題時(shí)應(yīng)根據(jù)函數(shù)的特征，選出適當(dāng)?shù)胤椒ㄟM(jìn)行求解，是基礎(chǔ)題．