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19.如圖,在四棱錐P-ABCD中,PC⊥底面ABCD,底面ABCD是矩形,BC=PC,E是PA的中點(diǎn).
(1)求證:PB⊥平面CDE;
(2)已知點(diǎn)M是AD的中點(diǎn),點(diǎn)N是AC上一點(diǎn),且平面PDN∥平面BEM.若BC=2AB=4,求點(diǎn)N到平面CDE的距離.

分析 (1)取PB的中點(diǎn)為F,連接CF和EF,證明DC⊥PB,CF⊥PB,即可證明PB⊥平面CDE;
(2)利用VN-DCE=VE-DCN,求點(diǎn)N到平面CDE的距離.

解答 (1)證明:取PB的中點(diǎn)為F,連接CF和EF,
∵E是PA的中點(diǎn),∴EF∥AB∥DC,
∴平面CDE與平面CDEF為同一平面,
∵PC⊥底面ABCD,底面ABCD是矩形,
∴DCPC,DC⊥BC,即DC⊥平面PBC,∴DC⊥PB.
∵BC=PC,∴CF⊥PB,
∵CD∩CF=C,∴PB⊥平面CDE.
(2)解:過(guò)D作DG∥BM交BC于G,連接PG,
∵M(jìn)是AD的中點(diǎn),∴EM∥PD,
∵PD∩DG=D,∴平面PDG∥平面BEM,
∴當(dāng)N是AC與DG的交點(diǎn)時(shí),平面PDN∥平面BEM,
在矩形ABCD中,求得CNAN=CGAD=12,
∵BC=2AB=4,∴S△DCN=13,S△DCN=22,
E到平面ABCD的距離為2,設(shè)點(diǎn)N到平面CDE的距離為d,
由VN-DCE=VE-DCN13×22d=13×2×43,解得d=223

點(diǎn)評(píng) 本題考查線(xiàn)面垂直的判定,考查等體積法求點(diǎn)到平面的距離,考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力,屬于中檔題.

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