Question

已知正方體的棱長為a，分別求出它們的內(nèi)切球、外接球及與各棱都相切的球的體積．

Answer 1

答案：略
解析：

正方體的內(nèi)切球與各面的切點(diǎn)為正方體面的中心，故作出經(jīng)過正方體相對(duì)面的中心且與棱平行的截面，則球的軸截面是其正方形截面的內(nèi)切圓，如圖所示，∴． 正方體的外接球與正方體的連接點(diǎn)為正方體各個(gè)頂點(diǎn)，故應(yīng)作正方體對(duì)角面，則球的截面為其矩形截面的外接圓，如圖，又矩形的兩鄰邊分別為正方體兩對(duì)角線和正方體的棱，則有 ∴外接球半徑為，∴． 與正方體的各棱均相切的球與正方體相連接的點(diǎn)是正方體各棱的中點(diǎn)，應(yīng)作出經(jīng)過正方體一組平行棱的中點(diǎn)的截面，則球的軸截面是其正方形截面的外接圓，如圖， 求得球的半徑為 ∴．

提示：

這些都是幾何體組合后產(chǎn)生的問題，為了準(zhǔn)確求解，應(yīng)分清它們是如何組合起來的，以轉(zhuǎn)化為平面圖形進(jìn)行計(jì)算． (1)相切或相接問題一般通過作出截面，使構(gòu)成組合體的各個(gè)簡單體中的主要元素盡可能集中在該截面上，從而化成平面圖形的計(jì)算加以解決． (2)旋轉(zhuǎn)體之間的相接、相切問題，通常作出它們的共軸的截面；旋轉(zhuǎn)體與多面體之間的相接、相切問題，一般作出它們“接”、“切”的某個(gè)公共點(diǎn)與軸所確定的截面．