Question

設f(x)＝－x³＋x²＋2ax.

(1)若f(x)在上存在單調(diào)遞增區(qū)間，求a的取值范圍；

(2)當0＜a＜2時，f(x)在[1,4]上的最小值為－，求f(x)在該區(qū)間上的最大值．

Answer 1

解析　(1)由f′(x)＝－x²＋x＋2a＝－²＋＋2a，

當x∈時，f′(x)的最大值為f′＝＋2a；令＋2a＞0，得a＞－.

所以，當a＞－時，f(x)在上存在單調(diào)遞增區(qū)間．即f(x)在上存在單調(diào)遞增區(qū)間時，a的取值范圍是

(2)令f′(x)＝0，得兩根x₁＝，x₂＝.

所以f(x)在(－∞，x₁)，(x₂，＋∞)上單調(diào)遞減，

在(x₁，x₂)上單調(diào)遞增．

當0＜a＜2時，有x₁＜1＜x₂＜4，

所以f(x)在[1,4]上的最大值為f(x₂)，

又f(4)－f(1)＝－＋6a＜0，即f(4)＜f(1)．

所以f(x)在[1,4]上的最小值為f(4)＝8a－＝－.

得a＝1，x₂＝2，從而f(x)在[1,4]上的最大值為f(2)＝.