Question

若數(shù)列{A_n}中a₁，a₂，…a_n滿足|a_k+1-a_k|=1（k=1，2，…，n-1），則稱{A_n}為E數(shù)列，記S（A_n）=a₁+a₂+…a_n．
（1）寫(xiě)出一個(gè)E數(shù)列{A_n}滿足a₁=a₉=0且S（A₉）＜0；
（2）若a₁=2，且E數(shù)列{A_n}是遞增數(shù)列，數(shù)列{b_n}中，b_n=

1

an•an+1

，數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為S_n．求證：S_n＜

1

2

．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）取a₁=a₃=a₅=a₇=a₉=0，a₂=a₄=a₆=a₈=-1，滿足條件．
（2）由a₁=2，且E數(shù)列{A_n}是遞增數(shù)列，滿足|a_k+1-a_k|=1，可得a_n=n+1．b_n=

1

an•an+1

=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，利用“裂項(xiàng)求和”即可得出．

解答： 解：（1）取a₁=a₃=a₅=a₇=a₉=0，a₂=a₄=a₆=a₈=-1，滿足a₁=a₉=0且S（A₉）＜0；
（2）∵a₁=2，且E數(shù)列{A_n}是遞增數(shù)列，滿足|a_k+1-a_k|=1，
則a_n=n+1．
∴b_n=

1

an•an+1

=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，
∴S_n=(1-

1

2

)+(

1

2

-

1

3

)+…+(

1

n

-

1

n+1

)=1-

1

n+1

，
∴S_n≤1-

1

2

=

1

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了新定義“E數(shù)列”、單調(diào)數(shù)列、“裂項(xiàng)求和”、不等式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．