Question

已知函數(shù)f(x)＝(x－a)²(x－b)(a，b∈R，a＜b).

(1)當(dāng)a＝1，b＝2時(shí)，求曲線y＝f(x)在點(diǎn)(2，f(2))處的切線方程.

(2)設(shè)x₁，x₂是f′(x)＝0的兩個(gè)根，x₃是f(x)的一個(gè)零點(diǎn)，且x₃≠x₁，x₃≠x₂.

證明：存在實(shí)數(shù)x₄，使得x₁，x₂，x₃，x₄按某種順序排列后成等差數(shù)列，并求x₄.

Answer 1

(1)當(dāng)a＝1，b＝2時(shí)，f(x)＝(x－1)²(x－2)，

因?yàn)閒′(x)＝(x－1)(3x－5)，故f′(2)＝1，f(2)＝0，

所以f(x)在點(diǎn)(2,0)處的切線方程為y＝x－2.

(2)因?yàn)閒′(x)＝3(x－a)(x－)，

由于a<b，故a<.

所以f(x)的兩個(gè)極值點(diǎn)為x＝a，x＝.

不妨設(shè)x₁＝a，x₂＝，

因?yàn)閤₃≠x₁，x₃≠x₂，且x₃是f(x)的零點(diǎn)，

故x₃＝b.

又因?yàn)?sub>－a＝2(b－)，

所以x₁，x₄，x₂，x₃成等差數(shù)列.

所以x₄＝(a＋)＝，

所以存在實(shí)數(shù)x₄滿足題意，且x₄＝.