Question

如圖，為圓的直徑，為圓周上異于、的一點，垂直于圓所在的平面，于

點，于點.

（1）求證：平面；

（2）若，，求四面體的體積.

 

 

Answer 1

（1）證明見解析；（2）.

【解析】

試題分析：(1)利用線面垂直的判斷定理證明線面垂直，條件齊全,證明線線垂直時，要注意題中隱含的垂直關系，如等腰三角形的底邊上的高，中線和頂角的角平分線合一、矩形的內角、直徑所對的圓周角、菱形的對角線互相垂直、直角三角形等等；(2)利用棱錐的體積公式求體積.(3)證明線面垂直的方法：一是線面垂直的判定定理；二是利用面面垂直的性質定理；三是平行線法（若兩條平行線中的一條垂直于這個平面，則另一條也垂直于這個平面.解題時，注意線線、線面與面面關系的相互轉化.(4)在求三棱柱體積時，選擇適當?shù)牡鬃鳛榈酌�，這樣體積容易計算.

試題解析：(1）證明：∵BC為圓O的直徑 ∴CD⊥BD

∵AB⊥圓O所在的平面 ∴AB⊥CD 且ABBD=B

∴CD⊥平面ABD

又∵BF平面ABD ∴CD⊥BF

又∵BF⊥AD 且ADCD=D

∴BF⊥平面ACD 6分

（2）法一：∵AB=BC=，∠CBD=45° ∴BD=CD=

∵BE⊥AC ∴E為AC中點

又∵CD⊥平面ABD

∴E到平面BDF的距離為

在Rt△ABD中，由于BF⊥AD 得

∴

∴ 13分

法二：∵AB=BC=，∠CBD=45° ∴BD=CD=

∵BE⊥AC ∴E為AC中點 ∴E到邊AD的距離為

在Rt△ABD中，由于BF⊥AD，得

，由（1）知BF⊥平面DEF

∴ 13分

考點：(1）直線與平面垂直的判定；（2）求四面體的體積.