函數y=f(x)是定義在[a,b]上的增函數,其中a,b∈R,且0<b<-a,已知y=f(x)無零點,設F(x)=f2(x)+f2(-x),則對于函數y=F(x)有如下四種說法:①定義域是[-b,b];②最小值是0;③是偶函數;④在定義域內單調遞增.其中正確的說法是( )
A.①②③
B.②④
C.①③
D.①④
【答案】
分析:根據題意,依次分析4個命題:對于①,根據F(x)的解析式以及f(x)的定義域,可得a≤x≤b,a≤-x≤b,又由0<b<-a,可得F(x)定義域,可得①正確;對于②,舉出反例,當f(x)>1時,可得F(x)的最小值不是0,故②錯誤;對于③,先求出F(-x),可得F(-x)=F(x),再結合F(x)的其定義域,可得F(x)為偶函數,故③正確;對于④,由于F(x)是偶函數,結合偶函數的性質,可得④錯誤;綜合可得答案.
解答:解:根據題意,依次分析4個命題:
對于①,F(x)=f
2(x)+f
2(-x),有a≤x≤b,且a≤-x≤b,
而又由0<b<-a,則F(x)=f
2(x)+f
2(-x)中,x的取值范圍是-b≤x≤b,即其定義域是[-b,b],則①正確;
對于②,由y=f(x)無零點,假設f(x)=2
x,F(x)=2
2x+2
-2x=2
2x+
≥2,其最小值為2,故②錯誤;
對于③,F(-x)=f
2(-x)+f
2(x)=F(x),且其定義域為[-b,b],關于原點對稱,
則F(x)為偶函數,③正確;
對于④,由于F(x)是偶函數,則F(x)在[-b,0]上與[0,b]上的單調性相反,故F(x)在其定義域內不會單調遞增,④錯誤;
故選C.
點評:本題考查函數的性質,涉及函數的定義域、奇偶性、單調性、最值等性質,判斷②時,注意要結合函數F(x)的定義域.