Question

(本小題滿分12分)如圖，在四棱錐P—ABCD中，底面是邊長為的菱形，且∠BAD＝120°，且PA⊥平面ABCD，PA＝，M，N分別為PB，PD的中點．

(Ⅰ)證明：MN∥平面ABCD；

(Ⅱ) 過點A作AQ⊥PC，垂足為點Q，求二面角A—MN—Q的平面角的余弦值．

 

Answer 1

【答案】

 (Ⅰ)見解析；(Ⅱ)所求二面角A—MN—Q的平面角的余弦值為．

【解析】第一問在平面ABCD中找到直線BD平行于MN，利用線面平行的判定定理可以證明；第二問則借助空間向量工具，建立合適的空間坐標系，利用向量求出夾角。

解：(Ⅰ)如圖連接BD．

∵M，N分別為PB，PD的中點，

∴在PBD中，MN∥BD．

又MN平面ABCD，        

∴MN∥平面ABCD；

(Ⅱ)如圖建系：

A(0，0，0)，P(0，0，)，M(，，0)，

N(，0，0)，C(，3，0)．                                 

設(shè)Q(x，y，z)，則．      

∵，∴．

由，得：．   即：．

對于平面AMN：設(shè)其法向量為．

∵．

則．  ∴．

同理對于平面AMN得其法向量為．

記所求二面角A—MN—Q的平面角大小為，

則．

∴所求二面角A—MN—Q的平面角的余弦值為．