如圖,某地有三家工廠,分別位于矩形ABCD 的頂點(diǎn)A、B 及CD的中點(diǎn)P 處,已知AB=20km,CB =10km ,為了處理三家工廠的污水,現(xiàn)要在矩形ABCD 的區(qū)域上(含邊界),且與A、B等距離的一點(diǎn)O處建造一個(gè)污水處理廠,并鋪設(shè)排污管道AO、BO、OP ,設(shè)排污管道的總長(zhǎng)度為km.
(1)按下列要求寫出函數(shù)關(guān)系式:
①設(shè)∠BAO=(rad),將
表示成
的函數(shù);②設(shè)OP
(km) ,將
表示成
的函數(shù).
(2)請(qǐng)選用(1)中的一個(gè)函數(shù)關(guān)系式,確定污水處理廠的位置,使鋪設(shè)的排污管道總長(zhǎng)度最短.
解:(1)①由條件知PQ 垂直平分AB,若∠BAO=(rad) ,則
, 故
,又OP=
,
所以,
所求函數(shù)關(guān)系式為
②若OP=(km) ,則OQ=10-
,所以O(shè)A =OB=
所求函數(shù)關(guān)系式為
(2)選擇函數(shù)模型①,
令0 得sin
,因?yàn)?sub>
,所以
=
,
當(dāng)時(shí),
,
是
的減函數(shù);當(dāng)
時(shí),
,
是
的增函數(shù),所以函數(shù)
在
=
時(shí)取得極小值,這個(gè)極小值就是最小值。
。
這時(shí)(km)
因此,當(dāng)污水處理廠建在矩形區(qū)域內(nèi)且到A、B的距離均為(km)時(shí),鋪設(shè)的排污管道總長(zhǎng)度最短.
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