Question

已知（1+x）+（1+x）²+（1+x）³+…+（1+x）ⁿ=a₀+a₁x+a₂x²+…+a_nxⁿ（n∈N^*）
（Ⅰ）若a₁+a₂+a₃+…+a_n-1=29-n，求n的值；
（Ⅱ）求a₃（用n表示）．

Answer 1

考點：二項式系數(shù)的性質(zhì),二項式定理的應(yīng)用

專題：二項式定理

分析：（Ⅰ）在所給的等式中，令x=0，可得a₀=n，易得a_n=1．再令x=1，可得 a₁+a₂+a₃+…+a_n-1=2ⁿ⁺¹-n-3．再根據(jù)2+2²+2³+…+2ⁿ=29-n，可得 2ⁿ⁺¹-n-3=29-n，由此求得n的值．
（Ⅱ）由所給的等式可得 a₃=

C

3 3

+

C

3 4

+

C

3 5

+…+

C

3 n

=

C

4 n+1

，計算求得結(jié)果．

解答： 解：（Ⅰ）在（1+x）+（1+x）²+（1+x）³+…+（1+x）ⁿ=a₀+a₁x+a₂x²+…+a_nxⁿ中，
令x=0，可得a₀=n，易得a_n=1．
再令x=1，可得2+2²+2³+…+2ⁿ=a₀+a₁+a₂+a₃+…+a_n-1 +a_n=n+1+a₁+a₂+a₃+…+a_n-1 ，
∴a₁+a₂+a₃+…+a_n-1=2+2²+2³+…+2ⁿ-n-1=

2(1-2n)

1-2

-n-1=2ⁿ⁺¹-n-3．
再根據(jù)2+2²+2³+…+2ⁿ=29-n，可得 2ⁿ⁺¹-n-3=29-n，求得n=4．
（Ⅱ）由所給的等式可得 a₃=

C

3 3

+

C

3 4

+

C

3 5

+…+

C

3 n

=

C

4 n+1

=

(n+1)•n•(n-1)•(n-2)

4×3×2×1

=

(n+1)•n•(n-1)•(n-2)

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點評：本題主要考查組合數(shù)的性質(zhì)和計算公式，二項式定理的應(yīng)用，注意根據(jù)題意，分析所給代數(shù)式的特點，通過給二項式的x賦值，求展開式的系數(shù)和，可以簡便的求出答案，屬于基礎(chǔ)題．