Question

已知直線l₁過A（0，1），與直線x=-2相交于點(diǎn)P（-2，y₀），直線l₂過B（0，-1）與x相交于Q（x₀，0），x₀、y₀滿足y0-

x0

2

=1，l₁∩l₂=M．
（Ⅰ）求直線l₁的方程（方程中含有y₀）；
（Ⅱ）求點(diǎn)M的軌跡C的方程；
（Ⅲ）過C左焦點(diǎn)F₁的直線l與C相交于點(diǎn)A、B，F(xiàn)₂為C的右焦點(diǎn)，求△ABF₂面積最大時(shí)點(diǎn)F₂到直線l的距離．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（Ⅰ）求出直線l₁的斜率，可得直線l₁的方程；
（Ⅱ）求出直線l₂方程、直線l₁的方程，聯(lián)立即可求點(diǎn)M的軌跡C的方程；
（Ⅲ）由（Ⅱ）得 F1(-

3

，0)，F2(

3

，0)，設(shè)l的方程為x=ky-

3

，代入橢圓方程，利用韋達(dá)定理，表示出△ABF₂面積，利用基本不等式，即可求△ABF₂面積最大時(shí)點(diǎn)F₂到直線l的距離．

解答： 解：（Ⅰ）∵直線l₁過A（0，1），與直線x=-2相交于點(diǎn)P（-2，y₀），
∴直線l₁的斜率k為k=

1-y0

2

．
∴直線l₁的方程為 y=

1-y0

2

x+1．…（3分）
（Ⅱ）當(dāng)x₀=0時(shí)，直線l₂就是y軸，M（0，1）．
當(dāng)x₀≠0時(shí)，直線l₂方程為y=

1

x0

x-1．（1）
∵y0-

x0

2

=1，∴k=-

x0

4

，
∴直線l₁的方程可變?yōu)?nbsp;y=-

x0

4

x+1．（2）
由（1）（2）得 

x2

4

+y2=1．
∵P點(diǎn)在直線x=-2上，
∴l(xiāng)₂不經(jīng)過B（0，-1），即B（0，-1）不在軌跡C上，
∴軌跡C的方程為

x2

4

+y2=1（y≠-1）．…（7分）
（Ⅲ）由（Ⅱ）得 F1(-

3

，0)，F2(

3

，0)，根據(jù)題意直線l與x軸不能重合，
∴可設(shè)l的方程為x=ky-

3

，又設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
把x=ky-

3

代入

x2

4

+y2=1化簡并整理得 (k2+4)y2-2

3

ky-1=0，
∴y1+y2=

2 3 k

k2+4

，y1y2=-

1

k2+4

，
∴|y1-y2|=

(y1+y2)2-4y1y2

=

( 2 3 k k2+4 )2+ 4 k2+4

=4

1 (k2+1)+ 9 k2+1 +6

，
∴△ABF₂面積S=

1

2

|F1F2|•|y1-y2|=4

3

•

1 (k2+1)+ 9 k2+1 +6

≤4

3

•

1 2 (k2+1)• 9 k2+1 +6

=2，
當(dāng)且僅當(dāng)k2+1=

9

k2+1

，即k=±

2

時(shí)等號(hào)成立．
∴△ABF₂面積最大時(shí)，l的方程為x±

2

y+

3

=0，
點(diǎn)F2(

3

，0)到直線l的距離d為d=

| 3 + 3 |

3

=2．…（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查軌跡方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查三角形面積的計(jì)算，考查基本不等式的運(yùn)用，屬于中檔題．