已知四面體的4條棱的長為2,2條棱的長為3,求它的體積.
分析:由給出的四面體的4條棱的長為2,2條棱的長為3,分兩類情況作出圖形,經(jīng)求解可知,當(dāng)兩條長為3的棱異面時,四面體不存在,當(dāng)兩條長為3的棱共面時,把要求的四面體的體積轉(zhuǎn)化為兩個三棱錐的體積和,求出共同的底面積后代入棱錐體積公式求解.
解答:解:根據(jù)分析可知滿足題目條件的四面體有兩種情況,也就是棱長為3的棱共面和異面
(1)當(dāng)棱長為3的棱異面時,四面體的圖形如左圖,
取BD的中點E,連接AE,CE,則AE⊥BD,CE⊥BD.
VA-BCD=VB-AEC+VD-AEC=
1
3
S△AEC•BE+
1
3
S△AEC•DE

=
1
3
S△AEC•(BE+DE)
=
1
3
S△AEC•BD

在直角三角形AEB和直角三角形CEB中,求得|CE|=|AE|=
7
2

∵|CE|+|AE|=
7
2
+
7
2
=
7
<3=|AC|,所以三角形AEC并不存在,即這種情況的三棱錐也不存在.
(2)當(dāng)棱長為3的棱共面時,四面體的圖形如右圖,
取BC中點E,則AE⊥BC,DE⊥BC,
VA-BCD=VB-AED+VC-AED=
1
3
S△AED•BE+
1
3
S△AED•CE

=
1
3
S△AED•(BE+CE)
=
1
3
S△AED•BC

在三角形AED中,AE=
3
,DE=2
2
,AD=2,
所以cos∠DAE=
22+(
3
)2-(2
2
)2
2×2×
3
=-
3
12

sin∠DAE=
1-(-
3
12
)2
=
141
12

所以S△AED=
1
2
AD•AE•sin∠DAE=
1
2
×2×
3
×
141
12
=
47
4

所以,VA-BCD=
1
3
S△AED•BC=
1
3
×
47
4
×2=
47
6
點評:本題考查了棱錐的體積,考查了分類討論的數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想,能夠正確排除兩條長為3的棱異面時的情況是解答該題的關(guān)鍵.此題是中檔題
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已知四面體的4條棱的長為2,2條棱的長為3,求它的體積.

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