Question

若不等式x³-

x2

2

-2x+5＜m，對一切x∈[-1，2]恒成立，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

考點：函數(shù)恒成立問題

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：設(shè)f（x）=x³-

x2

2

-2x+5，利用導(dǎo)數(shù)求出f（x）在[-1，2]內(nèi)的最大值為f（-

2

3

）=

157

27

，最小值為f（1）=

7

2

，由此能求出當(dāng)x∈[-1，2]時，f（x）-m＜0恒成立的實數(shù)m的取值范圍．

解答： 解：設(shè)f（x）=x³-

x2

2

-2x+5，
所以，f'（x）=3x²-x-2，
令f'（x）=0，得x₁=1，x₂=-

2

3

，
當(dāng)x∈（-∞，-

2

3

）時，f'（x）＞0，f（x）遞增；
當(dāng)x∈[-

2

3

，1]時，f'（x）＜0，f（x）遞減；
當(dāng)x∈（1，+∞）時，f'（x）＞0，f（x）遞增．
∴函數(shù)f（x）在x=-

2

3

時取得最大值為f（-

2

3

）=

157

27

，
函數(shù)f（x）在x=1時取得最小值f（1）=

7

2

，
∵x∈[-1，2]，-

2

3

∈[-1，2]，1∈[-1，2]，
∴當(dāng)x∈[-1，2]時，最大值為f（-

2

3

）=

157

27

，最小值為f（1）=

7

2

，
∵當(dāng)x∈[-1，2]時，f（x）-m＜0恒成立，即f（x）＜m
∴m＞

157

27

．
∴實數(shù)m的取值范圍是（

157

27

，+∞）．

點評：本題考查實數(shù)的取值范圍的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意導(dǎo)數(shù)性質(zhì)的合理運用．