Question

若定義在[-2014，2014]上的函數(shù)f（x）滿足：對于任意的x₁，x₂∈[-2014，2014]，有f（x₁+x₂）=f（x₁）+f（x₂）-2013，且x＞0時(shí)，有f（x）＞2013，f（x）的最大、小值分別為M、N，則M+N的值為（　　）

• A、4026
• B、4028
• C、2013
• D、2014

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)的最值及其幾何意義

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：利用賦值法，f（0）=2f（0）-2013可求f（0），結(jié)合已知設(shè)x₁＜x₂，先證明函數(shù)的f（x）的單調(diào)性，進(jìn)而可求函數(shù)的最大值與最小值．

解答： 解：∵對于任意x₁，x₂∈[-2014，2014]有f（x₁+x₂）=f（x₁）+f（x₂）-2013，
∴f（0）=2f（0）-2013，
∴f（0）=2013，
令x₁=2014，x₂=-2014，
∴f（0）=f（2014）+f（-2014）-2013，
∴f（2014）+f（-2014）=4026，
設(shè)x₁＜x₂∈[-2014，2014]，
則x₂-x₁＞0，
∵x＞0時(shí)，f（x）＞2013，
∴f（x₂-x₁）＞2013，
∴f（x₂）=f[（x₂-x₁）+x₁]=f（x₂-x₁）+f（x₁）-2013＞f（x₁），
∴函數(shù)f（x）在[-2014，2014]上單調(diào)遞增，
∴f（x）的最大值與最小值分別為M=f（2014）和N=f（-2014），
則M+N=f（2014）+f（-2014）=4026，
故選：A

點(diǎn)評：本題考查抽象函數(shù)及其應(yīng)用，先利用單調(diào)性的定義證明函數(shù)f（x）在R上為單調(diào)遞增函數(shù)是關(guān)鍵，也是難點(diǎn)，考查分析、推理與運(yùn)算能力，屬于中檔題．