(理)如圖,單位正方體ABCD-A1B1C1D1,E,F(xiàn)分別是棱C1D1和B1C1的中點,試求:
(Ⅰ)AF與平面BEB1所成角的余弦值;
(Ⅱ)點A到面BEB1的距離.
分析:(1)通過建立空間直角坐標系,利用線面角公式sinθ=|cos<
n
,
AF
>|
=
|
n
AF
|
|
n
| |
AF
|
即可得出;
(2)利用點A到面BEB1的距離d=
|
n
AB
|
|
n
|
即可得出.
解答:解:(1)如圖所示,建立空間直角坐標系.
則A(1,0,0),B(1,1,0),B1(1,1,1),E(0,
1
2
,1)
,F(
1
2
,1,1)

BB1
=(0,0,1)
,
BE
=(-1,-
1
2
,1)
AF
=(-
1
2
,1,1)

設平面BEB1的法向量為
n
=(x,y,z)
,
n
BB1
=0
n
BE
=0
,即
z=0
-x-
1
2
y+z=0
,取y=2,則x=-1,z=0.
n
=(-1,2,0)
,
設AF與平面BEB1所成的角為θ,θ∈[0,
π
2
]

sinθ=|cos<
n
,
AF
>|
=
|
n
AF
|
|
n
| |
AF
|
=
1
2
+2
5
×
1
4
+2
=
5
3
,
cosθ=
1-sin2θ
=
2
3

(2)由(1)可得平面BEB1的法向量
n
=(-1,2,0)
AB
=(0,1,0)

∴點A到面BEB1的距離d=
|
n
AB
|
|
n
|
=
2
5
=
2
5
5
點評:熟練掌握線面角公式sinθ=|cos<
n
,
AF
>|
=
|
n
AF
|
|
n
| |
AF
|
、點A到面BEB1的距離d=
|
n
AB
|
|
n
|
是解題的關鍵.
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1
6
1
6

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