Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，滿足a_n+3S_n•S_n-1=0（n≥2，n∈N^*），a₁=

1

3

，則數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式a_n=

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列遞推式

專題：點(diǎn)列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法

分析：根據(jù)數(shù)列的遞推關(guān)系構(gòu)造等差數(shù)列，利用a_n與S_n的關(guān)系即可求出數(shù)列的通項(xiàng)公式．

解答： 解：由a_n+3S_n•S_n-1=0得a_n=-3S_n•S_n-1，
當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=-3S_n•S_n-1=S_n-S_n-1，
∵a₁=

1

3

，∴S_n•S_n-1≠0，
等式兩邊同時(shí)除以S_n•S_n-1得

1

Sn

-

1

Sn-1

=3，
即{

1

Sn

}是以3為首項(xiàng)，3為公差的等差數(shù)列，
則

1

Sn

=3+3（n-1）=3n，
即S_n=

1

3n

，則a_n=-3S_n•S_n-1=-

1

3n(n-1)

，n≥2，
∵a₁=

1

3

不滿足a_n=-

1

3n(n-1)

，n≥2，
∴數(shù)列的通項(xiàng)公式a_n=

1 3 ， n=1 - 1 3n(n-1) ， n≥2

，
故答案為：

1 3 ， n=1 - 1 3n(n-1) ， n≥2

．

點(diǎn)評：本題主要考查數(shù)列通項(xiàng)公式的求解，利用數(shù)列的遞推關(guān)系結(jié)合a_n與S_n的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．