Question

已知函數(shù)f（x）=ln（1+x）-x+

k

2

x²（k≥0）．求f（x）的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：導數(shù)的綜合應用

分析：先求導，令g（x）=kx²+（k-1）x，再分當k=0，0＜k＜1，k=1，k＞1四種情況討論得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．

解答： 解：∵f（x）=ln（1+x）-x+

k

2

x²，x＞-1
∴f′（x）=

1

1+x

-1+kx=

kx2+(k-1)x

1+x

，
令g（x）=kx²+（k-1）x，k≥0，x＞-1
（1）當k=0時，g（x）=-x
當-1＜x＜0時，g（x）＞0，所以f′（x）＞0，函數(shù)f（x）在（-1，0）上單調(diào)遞增，
當x＞0時，g（x）＜0，所以f′（x）＜0，函數(shù)f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減，
（2）當k≠0時，g（x）=x[kx+（k-1）]
令g（x）=x[kx+（k-1）]=0，解得x=0，或x=

1

k

-1，
①當

1

k

-1＜0時，即k＞1時，
當

1

k

-1＜-1，解得k≥0，于已知矛盾，
當

1

k

-1＜x＜0時，g（x）＜0，所以f′（x）＜0，函數(shù)f（x）在（

1

k

-1，0）上單調(diào)遞減，
當x＞0時，g（x）＞0，所以f′（x）＞0，函數(shù)f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，
②當

1

k

-1＞0時，即0＜k＜1時，
當0＜x＜

1

k

-1時，g（x）＜0，所以f′（x）＜0，函數(shù)f（x）在（0，

1

k

-1）上單調(diào)遞減，
當x＞

1

k

-1時，g（x）＞0，所以f′（x）＞0，函數(shù)f（x）在（

1

k

-1，+∞）上單調(diào)遞增，
③當k=1時，g（x）≥0，所以f′（x）＞0，函數(shù)f（x）在（-1，+∞）上單調(diào)遞增，

點評：本題主要考查了導數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性的問題，本題的關鍵是分類，比較復雜，屬于中檔題．