Question

12．已知{a_n}是公差不為0的等差數(shù)列，a₁=1，且a₁，a₃，a₉成等比數(shù)列．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）若b_n=$\frac{1}{{a}_{n}•{a}_{n+1}}$，求證：數(shù)列{b_n}的前n項和S_n＜1．

Answer 1

分析 （1）利用等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項公式即可得出．
（2）利用“裂項求和”方法即可得出．

解答 （1）解：設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d≠0，∵a₁，a₃，a₉成等比數(shù)列．
∴${a}_{3}^{2}={a}_{1}•{a}_{9}$，即（1+2d）²=1×（1+8d），化為：d²=d，d≠0，解得d=1．
∴a_n=1+（n-1）=n．
（2）證明：b_n=$\frac{1}{{a}_{n}•{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$．
∴S_n=$（1-\frac{1}{2}）+（\frac{1}{2}-\frac{1}{3}）$+…+$（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$=1-$\frac{1}{n+1}$＜1．

點評 本題考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項公式、“裂項求和”方法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．