已知a、b都為正實(shí)數(shù)，且a+b=1,求證:(a+)(b+)≥.

證法一:∵(a+)(b+)=ab+++,

由于+≥2,故只要證明ab+≥,

即證4a2b2-17ab+4≥0,

即(4ab-1)(ab-4)≥0.

由條件a+b=1,得ab≤()2=,

∴4ab-1≤0,ab-4＜0.

∴(4ab-1)(ab-4)≥0.

∴4a2b2-17ab+4≥0.

∴4ab-17+≥0,即ab+≥.

又∵+≥2,

∴ab+++≥2+=.

∴(a+)(b+)≥.

證法二:∵a+b=1,∴(a+b)2=1,

即a2+b2=1-2ab.

要證(a+)(b+)≥,

只要證明4(a2+1)(b2+1)≥25ab,

即4a2b2+(4a2+4b2)+4≥25ab,

即4a2b2+4(1-2ab)+4-25ab≥0.

整理得4a2b2-33ab+8≥0.

只需證明(4ab-1)(ab-8)≥0.                                                 (*)

∵ab≤()2=,

∴4ab-1≤0,ab-8＜0.

∴(4ab-1)(ab-8)≥0成立.

其中當(dāng)且僅當(dāng)a=b=時(shí)取“=”.

∴(a+)(b+)≥.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2012•吉安縣模擬）已知a，b都為正實(shí)數(shù)，且
1
a
+
1
b
=1，則
2+b
2ab
的最大值為
9
16
9
16
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2010-2011學(xué)年江蘇省南京市高三第二次模擬考試數(shù)學(xué)卷 題型：解答題

在A、B、C、D四小題中只能選做2題，每小題10，共計(jì)20分。請(qǐng)?jiān)诖痤}卡指定區(qū)域作答。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

A、選修4-1：幾何證明選講

   如圖，已知梯形ABCD為圓內(nèi)接四邊形，AD//BC，過C作該圓的切線，交AD的延長(zhǎng)線于E，求證：ΔABC∽ΔEDC。

B、選修4-2：矩形與變換

已知 為矩陣屬于λ的一個(gè)特征向量，求實(shí)數(shù)a，λ的值及A2。

C、選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程

   在平面直角坐標(biāo)系xoy中，曲線C的參數(shù)方程為（α為參數(shù)），曲線D的參數(shù)方程為，（t為參數(shù)）。若曲線C、D有公共點(diǎn)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍。

D、選修4-5：不等式選講

   已知a，b都是正實(shí)數(shù)，且ab=2。求證：（1+2a）（1+b）≥9。

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2011-2012學(xué)年江西省吉安中學(xué)等四校高三第一次聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷（理科）（解析版） 題型：解答題

已知a，b都為正實(shí)數(shù)，且，則的最大值為    ．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（09年臨沂高新區(qū)實(shí)驗(yàn)中學(xué)質(zhì)檢）已知a、b都是正實(shí)數(shù)，且滿足的最小值為          。

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