Question

如圖，斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠BCA=90°，AC=BC=2，BA₁⊥AC₁，點A₁在底面ABC上的射影恰為AC的中點D．
（Ⅰ）求證：AC₁⊥平面A₁BC；
（Ⅱ）求二面角A-A₁B-C的余弦值．

Answer 1

考點：用空間向量求平面間的夾角,直線與平面垂直的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（Ⅰ）由題知A₁D⊥平面ABC，從而平面A₁ACC₁⊥平面ABC，又BC⊥AC，從而BC⊥AC₁，由此能證明AC₁⊥平面A₁BC．
（Ⅱ）法一：建立空間直角坐標系，利用向量法能求出二面角A-A₁B-C的余弦值．
（Ⅱ）法二：設(shè)A₁C∩AC₁=O，作OF⊥A₁B于F，連AF，則由AO⊥平面A₁BC，知AF⊥A₁B，∠AFO即是二面角A-A₁B-C的平面角，由此能求出二面角A-A₁B-C的余弦值．

解答： （Ⅰ）證明：由題知A₁D⊥平面ABC，而A₁D?平面A₁ACC₁，
所以平面A₁ACC₁⊥平面ABC，…（2分）
又BC⊥AC，BC?平面ABC，
平面A₁ACC₁∩平面ABC=AC，
所以BC⊥平面A₁ACC₁，故BC⊥AC₁，…（4分）
又AC₁⊥A₁B，BC、A₁B?平面A₁BC，BC∩A₁B=B，
所以AC₁⊥平面A₁BC．…（6分）
（Ⅱ）解法一：取AB中點E，連DE，
則由DE、DC、DA₁兩兩垂直，可如圖建立空間直角坐標系，
由（Ⅰ）可知AC₁⊥平面A₁BC，故AC₁⊥A₁C，所以△A₁AC為等邊三角形，
所以A1D=

3

，
故可得各點坐標分別為A(0 ， -1 ， 0) ， B(2 ， 1 ， 0) ， A1(0 ， 0 ， 

3

)，C(0 ， 1 ， 0) ， E(1 ， 0 ， 0) ， C1(0 ， 2 ， 

3

)…（9分）
所以

AB

=(2 ， 2 ， 0)，

A1A

=(0 ， -1 ， -

3

) ， 

AC1

=(0 ， 3 ， 

3

)
設(shè)

n

=(x ， y ， z)為平面A₁AB的法向量，
則由

n ⊥ AB n ⊥ A1A

，得

2x+2y=0    -y- 3 z=0

，
令x=3，則得

n

=(3 ， -3 ， 

3

)，…（10分）
又由（Ⅰ）知平面A₁BC的法向量為

AC1

=(0 ， 3 ， 

3

)，…（11分）
設(shè)所求二面角的大小為θ，則|cosθ|=|cos?

n

 ， 

AC1

＞|=

| n • AC1 |

| n |•| AC1 |

=

6

21 • 12

=

7

7

，…（13分）
因為該二面角為銳角，所以二面角A-A₁B-C的余弦值為

7

7

．…（14分）
（Ⅱ）解法二：設(shè)A₁C∩AC₁=O，作OF⊥A₁B于F，
連AF，則由AO⊥平面A₁BC，知AF⊥A₁B，
所以∠AFO即是二面角A-A₁B-C的平面角，…（10分）
得AO=

3

，OF=

1

2

A1C•BC

A1B

=

2×2

2 2

=

2

2

，…（11分）
所以tan∠AFO=

AO

OF

=

3

2 2

=

6

，…（13分）
從而二面角A-A₁B-C的余弦值為

7

7

．…（14分）

點評：本題考查直線與平面垂直的證明，考查二面角的余弦值的求法，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．