已知函數(shù)f(x)=lnx+ax+1,a∈R.

(1)求f(x)在x=1處的切線方程.

(2)若不等式f(x)≤0恒成立,求a的取值范圍.

 

(1) y=(a+1)x (2) (-∞,-1]

【解析】(1)∵x>0,f'(x)=+a,

∴f'(1)=a+1,切點(diǎn)是(1,a+1),

所以切線方程為y-(a+1)=(a+1)(x-1),

即y=(a+1)x.

(2)方法一:∵x>0,f'(x)=.

①當(dāng)a≥0時(shí),x∈(0,+∞),f'(x)>0,f(x)單調(diào)遞增,顯然當(dāng)x>1時(shí),f(x)>0,f(x)≤0不恒成立.

②當(dāng)a<0時(shí),x∈(0,-),f'(x)>0,f(x)單調(diào)遞增,

x∈(-,+∞),f'(x)<0,f(x)單調(diào)遞減,

∴f(x)max=f(x)極大值=f(-)=ln(-)≤0,

∴a≤-1,

所以不等式f(x)≤0恒成立時(shí),a的取值范圍是(-∞,-1].

方法二:∵x>0,所以不等式f(x)≤0恒成立,等價(jià)于ax≤-lnx-1,即a≤,

令h(x)=,

則h'(x)=-+=,

當(dāng)x∈(0,1)時(shí),h'(x)<0,h(x)單調(diào)遞減,

當(dāng)x∈(1,+∞)時(shí),h'(x)>0,h(x)單調(diào)遞增.

∴h(x)min=h(x)極小值=h(1)=-1,∴a≤-1.

所以不等式f(x)≤0恒成立時(shí),a的取值范圍是(-∞,-1].

 

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如圖,在長方體ABCD-A1B1C1D1中,AB=AD=3cm,AA1=2cm,則四棱錐A-BB1D1D的體積為　　　　cm3.

 

 

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已知n是正偶數(shù),用數(shù)學(xué)歸納法證明時(shí),若已假設(shè)n=k(k≥2且為偶數(shù))時(shí)命題為真,則還需證明(　　)

(A)n=k+1時(shí)命題成立

(B)n=k+2時(shí)命題成立

(C)n=2k+2時(shí)命題成立

(D)n=2(k+2)時(shí)命題成立

 

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若函數(shù)y=f(x)(x∈R)滿足f(x+2)=f(x),且x∈[-1,1)時(shí),f(x)=|x|,則函數(shù)y=f(x)的圖象與函數(shù)y=log4|x|的圖象的交點(diǎn)的個(gè)數(shù)為　　　.

 

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函數(shù)f(x)=的圖象和g(x)=log2x的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)是(　　)

(A)4　　　　(B)3　　　　(C)2　　　　(D)1

 

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函數(shù)f(x)=的單調(diào)遞增區(qū)間是　　　　　.

 

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化簡:(n∈Z)=_________.

 

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(1)求常數(shù)a,b的值.

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