Question

數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，a₁=1，a_n+1=2S_n+1（n≥1）．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）等差數(shù)列{b_n}的各項(xiàng)為正，b₂=5，又a₁+b₁，a₂+b₂，a₃+b₃成等比數(shù)列，若c_n=a_nb_n，求C_n的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,數(shù)列遞推式

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由a_n+1=2S_n+1可得a_n=2S_n-1+1（n≥2），相減得a_n+1-a_n=2a_n，a_n+1=3a_n（n≥2）．即{a_n}是首項(xiàng)為1，公比為3的等比數(shù)列，問題得以解決．
（2）先求出數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式，把數(shù)列{a_n}和{b_n}的通項(xiàng)公式代入c_n=a_nb_n，然后直接利用錯(cuò)位相減法求數(shù)列{c_n}前n項(xiàng)和T_n，

解答： 解：（1）由a_n+1=2S_n+1可得a_n=2S_n-1+1（n≥2），
兩式相減得a_n+1-a_n=2a_n，a_n+1=3a_n（n≥2）．
又a₂=2S₁+1=3，∴a₂=3a₁．
故{a_n}是首項(xiàng)為1，公比為3的等比數(shù)列，
∴a_n=3^n-1．
（2）設(shè){b_n}的公差為d，
由T₃=15得b₁+b₂+b₃=15，可得b₂=5，
故可設(shè)b₁=5-d，b₃=5+d，
又a₁=1，a₂=3，a₃=9，
由題意可得（5-d+1）（5+d+9）=（5+3）²，
解得d₁=2，d₂=-10．
∵等差數(shù)列{b_n}的各項(xiàng)為正，
∴d＞0．
∴d=2，b₁=3
∴b_n=2n+1，
∴C_n=（2n+1）•3^n-1．
∴T_n=3×3⁰+5×3¹+7×3²+…+（2n+1）×3^n-1   ①，
3T_n=3×3¹+5×3²+7×3³+…+（2n+1）×3ⁿ ②，
①-②得：-2T_n=3+2×3¹+2×3²+2×3³+…+2×3^n-1-（2n+1）×3ⁿ=3-（2n+1）×3ⁿ+2×

3(1-3n-1)

1-3

=3-（2n+1）×3ⁿ-3+3ⁿ=-2n×3ⁿ
∴T_n=n×3ⁿ

點(diǎn)評：本題考查了等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，考查了錯(cuò)位相減法求數(shù)列的和，是中檔題．