【題目】已知函數(shù)

(1)若，當時，求的單調(diào)區(qū)間；

(2)若函數(shù)有唯一的零點，求實數(shù)a的取值范圍.

【答案】（1）的單調(diào)增區(qū)間為，的單調(diào)減區(qū)間為，（2）實數(shù)的取值范圍為。

【解析】

（1）對函數(shù)求導(dǎo)，把代入導(dǎo)函數(shù)中，利用導(dǎo)函數(shù)求出的單調(diào)區(qū)間；

（2）函數(shù)有唯一的零點等價于方程有唯一實數(shù)根，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)與 的交點即可求出實數(shù)的取值范圍。

（1）由題可得：，定義域為，

，

，

令得：或（舍去）

令得：或，結(jié)合定義域得：

令得：，結(jié)合定義域得：

的單調(diào)增區(qū)間為，的單調(diào)減區(qū)間為，

（2）函數(shù)有唯一的零點等價于只有唯一的實數(shù)根，

顯然，則只有唯一的實數(shù)根等價于關(guān)于的方程有唯一實數(shù)根，

構(gòu)造函數(shù) ，則，

令，解得： ，

令，解得：，則函數(shù)在上單調(diào)遞增；

令，解得：，則函數(shù)在上單調(diào)遞減；

的極小值為，

如圖，作出函數(shù)的大致圖像，則要使方程只有唯一實數(shù)根，只需要直線與曲線只有唯一交點，

或，解得：或，

故實數(shù)的取值范圍為

練習冊系列答案
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(1)求曲線C的直角坐標方程和直線l的普通方程；

(2)若|PM|，|MN|，|PN|成等比數(shù)列，求實數(shù)a的值．

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