Question

函數(shù)f(x)=cos(-

x

2

)+sin(π-

x

2

) ，  x∈R．
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）若f（α）=

2 10

5

，α∈( 0 ， 

π

2

)，求cos(2α+

π

4

)的值．

Answer 1

分析：先對函數(shù)f（x）=cos（-

x

2

）+sin（π-

x

2

）利用誘導公式以及輔助角公式進行化簡整理得到 f(x)=

2

sin(

x

2

+

π

4

)；
（1）直接代入周期的求法公式即可；
（2）先由f（α）=

2 10

5

，α∈( 0 ， 

π

2

)，求出Sinα和cosα的值；再對cos(2α+

π

4

)利用兩角和的余弦公式展開，把所求Sinα和cosα的值代入即可得到結論．

解答：解：∵f（x）=cos（-

x

2

）+sin（π-

x

2

）
=cos

x

2

+sin

x

2

=

2

sin（

x

2

+

π

4

）．
∴f(x)=

2

sin(

x

2

+

π

4

)
（1）∴T=

2π

1 2

=4π．
（2）由f（α）=cos

α

2

+sin

α

2

=

2 10

5

．
兩邊平方整理得：1+sinα=

8

5

，所以sinα=

3

5

．
又因為α∈( 0 ， 

π

2

)
∴cosα=

1-sin 2α

=

4

5

．
∴cos（2α+

π

4

）=

2

2

（cos2α-sin2α）
=

2

2

[（cos²α-sin²α）-2sinαcosα]
=

2

2

[（(

4

5

)2-(

3

5

)2）-2×

4

5

×

3

5

]
=-

17 2

50

．

點評：本題主要考查運用誘導公式化簡求值以及三角函數(shù)的周期性及其求法．是對三角函數(shù)的常用結論以及公式的綜合考查，做這一類型題目，需要熟練掌握公式．