Question

【題目】已知一元二次函數(shù)f（x）=ax2+bx+c（a＞0，c＞0）的圖象與x軸有兩個不同的公共點，其中一個公共點的坐標為（c，0），且當0＜x＜c時，恒有f（x）＞0．

（1）當a=1，時，求出不等式f（x）＜0的解；

（2）求出不等式f（x）＜0的解（用a，c表示）；

（3）若以二次函數(shù)的圖象與坐標軸的三個交點為頂點的三角形的面積為8，求a的取值范圍.

Answer 1

【答案】(1)．(2)；(3)．

【解析】

（1）由韋達定理和題中所給條件可解得函數(shù)的兩個零點，進而可解得不等式f（x）＜0的解；（2）由韋達定理及函數(shù)過（c，0），可解不等式；（3）表示出以二次函數(shù)的圖象與坐標軸的三個交點為頂點的三角形的面積，利用基本不等式求得a的取值范圍．

（1）當a=1，時，，f（x）的圖象與x軸有兩個不同交點，

∵，設另一個根為x2，則，∴x2=1，

則f（x）＜0的解集為．

（2）f（x）的圖象與x軸有兩個交點，

∵f（c）=0，

設另一個根為x2，則，

又當0＜x＜c時，恒有f（x）＞0，則，

∴f（x）＜0的解集為；

（3）由（2）的f（x）的圖象與坐標軸的交點分別為，

這三交點為頂點的三角形的面積為，

∴，

當且僅當c=4時，等號成立，

故．