Question

【題目】已知函數(shù)，曲線在點處的切線方程是.

（Ⅰ）求實數(shù)，的值;

（Ⅱ）若函數(shù)有兩個不同的零點，，求證：.

Answer 1

【答案】（Ⅰ），；（Ⅱ）詳見解析.

【解析】

（Ⅰ）根據(jù)導數(shù)的幾何意義，點處的導數(shù)就是該點切線的斜率，再根據(jù)該切點既在曲線上也在直線上，列式即可得解；

（Ⅱ）求出的解析式及其單調(diào)性，當時，，為增函數(shù)；

時，，為減函數(shù)，由函數(shù)有兩個不同的零點，則，滿足，構(gòu)造函數(shù)，再根據(jù)的單調(diào)性即可得出，的關系.

（Ⅰ）由求導，得，

由切線方程知，切點為，

切線斜率為，

所以解得，.

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，

，

，

當時，，為增函數(shù)；

時，，為減函數(shù).

所以時，函數(shù)取得極大值.

又易知，，，

所以函數(shù)的兩個不同的零點，滿足，

構(gòu)造函數(shù)，

即，

.

當時，，所以為上的增函數(shù)，

因為，所以，

即，即，

因為，所以，

又因為，所以，而，且在區(qū)間上單調(diào)遞減，

所以由可得，

即.