Question

5．在直角坐標(biāo)系xOy中，已知一動(dòng)圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)（2，0）且在y軸上截得的弦長(zhǎng)為4，設(shè)動(dòng)圓圓心的軌跡為曲線C．
（1）求曲線C的方程；
（2）過(guò)點(diǎn)（1，0）作互相垂直的兩條直線l₁，l₂，l₁與曲線C交于A，B兩點(diǎn)l₂與曲線C交于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，線段AB，EF的中點(diǎn)分別為M，N，求證：直線MN過(guò)定點(diǎn)P，并求出定點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）設(shè)圓心C（x，y），依題意有x²+4=（x-2）²+y²，可求曲線C的方程；
（2）求出M，N的坐標(biāo)，可得直線MN的方程，即可得到結(jié)論．

解答 （1）解：設(shè)圓心C（x，y），依題意有x²+4=（x-2）²+y²，即得y²=4x，
∴曲線C的方程為y²=4x．
（2）證明：設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直線AB的方程為y=k（x-1），
代入y²=4x可得k²x²-2（k²+2）x+k²=0
∴x₁+x₂=$\frac{2（{k}^{2}+2）}{{k}^{2}}$
∴x_M=$\frac{{k}^{2}+2}{{k}^{2}}$，∴y_M=k（x_M-1）=$\frac{2}{k}$
∴M（$\frac{{k}^{2}+2}{{k}^{2}}$，$\frac{2}{k}$）．
∵AB⊥CD，∴將M坐標(biāo)中的k換成-$\frac{1}{k}$，可得N（2k²+1，-2k）
∴直線MN的方程為y+2k=$\frac{-2k-\frac{2}{k}}{2{k}^{2}+1-\frac{{k}^{2}+2}{{k}^{2}}}$（x-2k²-1）
整理得（1-k²）y=k（x-3）
∴不論k為何值，直線MN必過(guò)定點(diǎn)P（3，0）．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查拋物線的定義，考查直線恒過(guò)定點(diǎn)，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，確定直線的方程是關(guān)鍵．