Question

已知正項(xiàng)數(shù)列滿(mǎn)足（）.

（1）證明：；

（2）證明：；

（3）證明：.

Answer 1

證明：（1）

方法一：因?yàn)?img src='http://thumb.zyjl.cn/pic1/files/down/test/2014/10/29/14/2014102914561632750329.files/image142.gif'>，所以，             

故，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立.                     

方法二：

因?yàn)?img src='http://thumb.zyjl.cn/pic1/files/down/test/2014/10/29/14/2014102914561632750329.files/image142.gif'>，所以，             

故，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立.                      

（2）由（1）知，又，

所以，所以.                                   

（3）先證：

當(dāng)n=1時(shí)，不等式顯然成立；                                      

假設(shè)當(dāng)n=k（）時(shí)不等式成立，即.              

當(dāng)n=k+1時(shí)，由得，   

即當(dāng)n=k+1時(shí)，不等式成立；                                   

綜上，對(duì)一切都有成立.                         

再證：

由及（），得（），

所以當(dāng)n=1時(shí)，不等式顯然成立；                                

當(dāng)時(shí)，假設(shè)存在k，使得，                       

則有，即，

所以，，┅，，，    

與題設(shè)矛盾.                                     

所以對(duì)一切都有成立.                          

所以對(duì)一切都有成立.