Question

已知函數(shù)f(x)=cos(2x-

π

3

)+sin2x-cos2x．
（I）求函數(shù)f（x）的最小正周期及圖象的對(duì)稱(chēng)軸方程；
（II）設(shè)函數(shù)g（x）=[f（x）]²+f（x），求g（x）的值域．

Answer 1

分析：（I）利用兩角差的余弦函數(shù)展開(kāi)函數(shù)，再用二倍角公式以及兩角和的正弦函數(shù)化簡(jiǎn)為sin(2x-

π

6

)，然后求函數(shù)f（x）的最小正周期及圖象的對(duì)稱(chēng)軸方程；
（II）化簡(jiǎn)函數(shù)g（x）=[f（x）]²+f（x），把sin(2x-

π

6

)看為一個(gè)未知數(shù)，配成平方關(guān)系，然后求g（x）的值域．

解答：解：（I）f(x)=

1

2

cos2x+

3

2

sin2x+sin2x-cos2x=

1

2

cos2x+

3

2

sin2x-cos2x=sin(2x-

π

6

)
∴最小正周期T=

2π

2

=π
由2x-

π

6

=kπ+

π

2

(k∈Z)，
得x=

kπ

2

+

π

3

(k∈Z)
函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)軸方程為x=

kπ

2

+

π

3

(k∈Z)．
（II）g(x)=[f(x)]2+f(x)=sin2(2x-

π

6

)+sin(2x-

π

6

)=[sin(2x-

π

6

)+

1

2

]2-

1

4

．
當(dāng)sin(2x-

π

6

)=-

1

2

時(shí)，g（x）取得最小值-

1

4

，
當(dāng)sin(2x-

π

6

)=1時(shí)，g（x）取得最大值2，
所以g（x）的值域?yàn)?span id="zumyets" class="MathJye" mathtag="math" style="whiteSpace:nowrap;wordSpacing:normal;wordWrap:normal">[-

1

4

，2]．

點(diǎn)評(píng)：本題是基礎(chǔ)題，考查三角函數(shù)的性質(zhì)，二倍角公式，兩角和與差的三角函數(shù)，三角函數(shù)的值域的求法，考查計(jì)算能力，基本知識(shí)的靈活應(yīng)用能力．