Question

已知三棱柱，底面三角形為正三角形，側(cè)棱底面，，為的中點，為中點．

(Ⅰ)求證：直線平面；

(Ⅱ）求點到平面的距離．

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）取的中點為，連接，

推出，，且，

利用四邊形為平行四邊形，得到，

所以直線平面.

(Ⅱ）點到平面的距離為．

【解析】

試題分析：（Ⅰ）取的中點為，連接，

因為為的中點，為中點，

所以，，且，

所以四邊形為平行四邊形， 所以，

又因為,

所以直線平面.

(Ⅱ）由已知得，所以,

因為底面三角形為正三角形，為中點，

所以, 所以，

由（Ⅰ）知，所以，

因為，所以,,

設(shè)點到平面的距離為，由等體積法得 ，

所以，得，

即點到平面的距離為．

考點：正三棱柱的幾何特征，平行關(guān)系，垂直關(guān)系，體積計算，距離計算。

點評：中檔題，立體幾何問題中，平行關(guān)系、垂直關(guān)系，角、距離、面積、體積等的計算，是常見題型，基本思路是將空間問題轉(zhuǎn)化成為平面問題，利用平面幾何知識加以解決。要注意遵循“一作，二證，三計算”。本題計算距離時，應用了“等體積法”，在幾何體不十分規(guī)則時，經(jīng)常用到。